3675: [Apio2014]序列分割

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Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

Input

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

【样例说明】 

在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分： 

1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置 

将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。 

2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数 

字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+ 

3)=36分。 

3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个 

数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)= 

20分。 

经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。 

【数据规模与评分】 

：数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

Source

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先画画图，设几个变量写一写，很容易发现，分割序列的顺序不影响答案假设我们把序列分割成了k段，第i段序列的数值和是ai那么ans = ∑ai*∑aj  (i∈[1,n) && j∈(i,n])通过这个式子可以发现，第j段对ans的贡献是aj*∑ai(i∈[1,j))那么维护一个前缀和数组sum令f[i][j]:第j段最右边那个数字刚好是ai，得到的最大分数因为我们用aj*∑ai(i∈[1,j))统计，后面还没处理到的位置可以先放着不管
那么f[i][j] = max{f[k][j-1] + sum[j]*(sum[i] - sum[j])}把这个式子拆一下，弄成斜率优化的形式
然后这题比较，，，，，因为数字非负，所以斜率的分母可能为0，也就是斜率变为∞那么就只好将每个状态抽象成点，用向量来搞这题啦，，，(第一次写，自己调了好久GG)
最后是，这里面涉及到的不等关系一定要加上等号(即<= 或 >=)，也就是两个地方转移的效果是一样时，优先保留后面的，因为根据原本的不等关系，后面的发展前景更广阔~

#include<iostream>#include<cstdio>#include<queue>#include<vector>#include<bitset>#include<algorithm>#include<cstring>#include<map>#include<stack>#include<set>#include<cmath>#include<ext/pb_ds/priority_queue.hpp>using namespace std;const int maxn = 1E5 + 10;typedef long long LL;struct Point{LL x,y;Point(){}Point(LL x,LL y): x(x),y(y){}Point operator - (const Point b) {return Point(x - b.x,y - b.y);}}p[2][maxn];typedef Point Vector;int n,k,head,tail,cur,Q[maxn];LL Ans,sum[maxn],f[2][maxn];LL Cross(Vector v1,Vector v2) {return v1.x*v2.y - v2.x*v1.y;}LL Work(int j,int i) {return f[cur^1][j] + sum[j]*(sum[i] - sum[j]);}bool Judge(int j,int t,int i){Point poi = p[cur^1][t] - p[cur^1][j];if (poi.x < 0)poi.x *= -1,poi.y *= -1;return poi.y >= -poi.x*sum[i];}bool judge(int j,int t,int i){Vector A = p[cur^1][t] - p[cur^1][j];Vector B = p[cur^1][i] - p[cur^1][t];return Cross(A,B) >= 0;}int getint(){char ch = getchar();int ret = 0;while (ch < '0' || '9' < ch) ch = getchar();while ('0' <= ch && ch <= '9')ret = ret*10 + ch - '0',ch = getchar();return ret;}int main(){#ifdef DMCfreopen("DMC.txt","r",stdin);#endifn = getint(); k = getint();for (int i = 1; i <= n; i++)sum[i] = getint(),sum[i] += sum[i-1];for (int i = 1; i <= n; i++)p[cur][i] = Point(sum[i],f[cur][i] - sum[i]*sum[i]);for (int t = 2; t <= k + 1; t++) {Q[head = tail = 1] = t - 1;cur ^= 1;for (int i = t; i <= n; i++) {while (head < tail && Judge(Q[head],Q[head+1],i))++head;LL now = Work(Q[head],i);while (head < tail && judge(Q[tail-1],Q[tail],i))--tail;Q[++tail] = i;f[cur][i] = now;p[cur][i] = Point(sum[i],f[cur][i] - sum[i]*sum[i]);}}cout << f[cur][n];return 0;}