随机过程及应用（一） - 特征函数

随机过程及应用-特征函数（Stocbastic Processes With Its Applications ）：

||   **1.通过随机变量来描述随机现象，由随机变量的分布函数来了解它的统计规律，引进随机过程理论对时间改变的随机现象进行研究，问题将显得十分复杂；  ||   **2.为简化计算量，将傅里叶变换引入并用于分布函数（概率分布、分布律），就产生了* 特征函数 *，经概率论乃至随机过程的理论研究提升至前所未有的新局面！

• 1.1 一维特征函数定义及实例
  设X,Y是实随机变量，定义复随机变量Z=X+Y,其中j=−1−−−√,定义其数学期望为

  E(Z)=E(X)+jE(Y),          (1)
  特别的，根据欧拉公式，有
  E(ejuX)=E(cosuX)+jE(sinuX)   (1)
  =∫+∞−∞cosuxdF(x)+jsinuxdF(x)   (1)
  =∫+∞−∞ejuxdF(x)

• • 此式即关于分布函数F(x)的 傅里叶-斯蒂阶 变换
• • 因对任意的u∈R,cosux和sinux 关于x 来说，均为有界连续函数，故对任意随机变量X,E(ejuX)总存在，而且是关于实变量u的函数。
• • 下面是二项分布X−B(n,p)
    P{X=k}=Ckn(1−p)n−k,                k=0,1,...,n
    
    特征函数为
    φ(u)=E(ejuX)=∑kejuxkpk
    =∑kejukCknpk(1−p)n−k
    =∑kCkn(peju)k(1−p)n−k,       u∈R.
    
    到这一步相信很多人已经看出来或者看不出来了，应用 *二项式展开定理* 上式可化为
    (q+peju)n
    
    最后整理一下：
    
    φ(u)=(q+peju)n,     u∈R
    
         上式即为二项分布的特征函数最终化简式    【PS:其他几种常用分布随机变量的特征函数均可照此进行】