线性代数学习笔记(五)
来源:互联网 发布:有线网络转无线wifi 编辑:程序博客网 时间:2024/06/13 14:00
最小二乘法
当Ax=b没有解时,左右同时乘以AT,解
乘上AT源自投影矩阵求x的变形:AT(b-Ax)=0,目的是为了得到
求解x的方程
正交基
假如向量q1到qn满足:两两之间相互垂直,且每个向量长度都为1,then q1...qn areorthonormal(orthogonal + normal两个词),以这些向量为列(别搞反了)组成的矩阵标记为Q.
- Q不一定是正方形的,也可以是瘦瘦长长的(m>n),但不能是矮矮胖胖的(否则列向量无法相互独立)
- Q的一个性质是QTQ=I,这让Q非常有用!(repeat:Q不一定是正方形)
- 当m=n时,QT=Q-1
- 当Q是正方形时,我们叫它orthogonal matrix(不是所有的Q都叫orthogonal,不是所有的牛奶都叫。。也许当初发现这个的人觉得QT=Q-1非常重要才把这个名字留给正方形Q)
- Qb不会改变b的长度:||Qb||2=(Qb)'(Qb)=b'Q'Qb=b'b=||b||2 这条性质保证了用Q运算不会让数值变得太大or太小(随想:好像rowNum=2和rowNum=3的向量混合就没什么意思了<例如,二维空间的基(1,0),(0,1)与三位空间向量(1,2,3)没什么关系>,那这里Q的basis的rowNum就应该和b的rowNum相同,Qb有意义的条件又限制了Q的colNum=b的rowNum,这样这个性质有用时,Q八成是正方形的)
用Q来作投影矩阵
顾名思义,用Q来代替原先乱七八糟的A,得到:Q'Qx=Q'b,有:
- 基的组合:
x^=QTb x^=QTb - 每个分量:
x^i=qTib x^i=qiTb - 投影向量:
p=Qx^=QQTb p=Qx^=QQTb - 投影矩阵:
P=QQT P=QQT (QQT=全球通...)
Foundation of Fourier series
当Q是正方形时,QQT=I,似乎b只能投影到b本身,但是还是有用处的:
Gram-Schmidt Process
(注意标记)假设向量a,b,c是一组基(不一定正交),经过GSProcess之后得到的正交向量分别为A,B,C(这里虽然是大写,但是还是表示向量)
A=a A=aB=b−PAb=b−A(ATA)−1ATb B=b−PAb=b−A(ATA)−1ATbC=c−PAc−PBc=c−A(ATA)−1ATc−B(BTB)−1BTc C=c−PAc−PBc=c−A(ATA)−1ATc−B(BTB)−1BTc
规律是减去在之前的每个正交向量构成的每个空间(这些空间都是一条线)的分量即可。最后再加一步标准化,得到模长为1的向量
ColumnSpace(q1)=C(a),C([q1,q2])=C([a,b]),以此类推,因为q2可由a,b变换得来(b本身减去b在a上的分量)
A=QR
现在是QTQ=I发挥作用的时候了,设A=QR,左右同时乘上QT,得到QTA=QTQR=IR=R,有:
R是一个上三角矩阵!q2与a的内积等于0,因为a在q1的column space中,q2与这个空间所有向量垂直;q3与b的内积等于0,因为b在q1和q2构成的column space中,q3与这个空间所有向量垂直。
任何列向量独立的m*n的矩阵A都能分解成QR!Q是m*n的矩阵,列向量相互垂直且模长为1!R是n*n的上三角矩阵(所以必然存在逆矩阵)!
对最小二乘法来说,
- 可以化为
RTQTQRx^=RTQTb RTQTQRx^=RTQTb - 进一步变成
Rx^=QTb Rx^=QTb x^=R−1QTb
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