动态规划之01背包问题（最易理解的讲解）

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01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

nameweightvalue12345678910a26066991212151515b23033669991011c65000666661011d54000666661010e460006666666

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？

根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在这里，

 f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包

以下是java的代码view plain copy

import java.util.Arrays;public class Package01 {public static void main(String[] args) {int wholeWeight = 10;PackageItem[] packageItems = init();int[][] result = get01PackageAnswer(packageItems, wholeWeight);for (int i = 0; i < result.length; i++) {System.out.println(Arrays.toString(result[i]));}}private static int[][] get01PackageAnswer(PackageItem[] packageItems, int wholeWeight) {int[][] matrix = new int[packageItems.length][wholeWeight + 1];//二位数组for (int i = 0; i < packageItems.length; i++) {//行PackageItem pi = packageItems[i];//要放进包的itemint piWeight = pi.weight;int piValue = pi.value;for (int j = 1; j <= wholeWeight; j++) {//列int bagSize = j;//当前背包的能承受的重量if (piWeight > bagSize) {//装不了//matrix[i][j] = matrix[i][j - 1];if (i ==0) {//如果是第0行matrix[i][j] = 0;} else {matrix[i][j] = matrix[i - 1][j];}} else {int weightDiff = bagSize - piWeight;//装入当前item，余下的重量if (i ==0) {//如果是第0行matrix[i][j] = piValue;} else {int valueInBag = matrix[i - 1][weightDiff] + piValue;//f[i-1,j-Wi]+Pi(j >= Wi)matrix[i][j] = valueInBag > matrix[i - 1][j] ? valueInBag : matrix[i - 1][j];}}}}return matrix;}static PackageItem[] init() {String[] nameArr = {"a","b","c","d","e"};int[] weightArr = {2,2,6,5,4};int[] valueArr = {6,3,5,4,6};PackageItem[] packageItems = new PackageItem[nameArr.length];for (int i = 0; i < nameArr.length; i++) {PackageItem pi = new PackageItem(nameArr[i], weightArr[i], valueArr[i]);packageItems[i] = pi;}return packageItems;}}class PackageItem  {      public String name;      public int weight;      public int value;      public PackageItem(String name, int weight, int value)      {          this.name = name;        this.weight = weight;        this.value = value;    }  }