【leetcode】120. Triangle

Difficulty：medium

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[     [2],    [3,4],   [6,5,7],  [4,1,8,3]]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note:
Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

解题思路一（递归时间复杂度为2^n）：

首先考虑使用递归的方法，如果从上至下采用递归的动态规划，那么可以将每一个数字的结果分为两部分：triangle[i][j]+min(triangle[i+1][j],triangle[i+1][j+1].这样就需要求解triangle[i+1][j]，和triangle[i+1][j+1]的值，依次类推，当计算到向量的底部时，向上回硕得到了最终的结果。

但是这样的时间复杂度相对来说较高，因为在自上向下的递归过程中，对于某一个triangle[i][j]，都需要进行两次的计算，因为在他的上次层有triangle[i-1][j]，和triangle[i-1][j+1]用到这个数字，所以在递归的过程中难免会将同一个数值计算两次，这样导致最终的计算量大幅度上升，时间复杂度达到了O(2^n)。采用递归的方法所需要的额外空间只有n；

解题思路二（动态规划时间复杂度n*n):

再考虑使用动态规划自底向上的递推过程，考虑到如果重复计算同一个值会使程序的计算量大幅度上升，所以从下向上，如果需要计算出triangle[i][j]，那么下层的triangle[i+1][j]和triangle[i+1][j+1]都已经是已知的了，并且同样的计算triangle[i][j+1]的时候，需要用到triangle[i+1][j+1]和triangle[i+1][j+2]，但是计算triangle[i+1][j]时用到的triangle[i+1][j+1]已经在下层计算过不需要重复的计算量，与triangle[i][j]计算过程中用到的triangle[i+1][j+1]的值相同。所以避免了上层用到同一个值时所进行的无谓的计算量。

因为题目中要求了要最多使用n的额外空间，所以开出一个能容纳每一个位置到底部的最短距离的向量arr[n*(n-1)/2+1],对于每一个位置，通过i,j来计算在arr中的位置，在triangle中triangle[i][j]到底部的最短距离就是arr[(i)*(i-1)/2+j]的值，所以最后需要求的就是arr[0]。

接下来就是要控制好进行两层循环的界限，以及在动态规划过程中的状态传递方程

从下到上 for(int i=n-1;i>=0;i--)控制每一层的层数，for(int j=0;j<=i;j++)用来控制在当前层每一个位置的arr[(i)*(i-1)/2+j]的值。

状态传递方程为arr[(i)*(i-1)/2+j] = triangle[i][j]+min(arr[(i+1)*(i)/2+j],arr[(i+1)*(i)/2+j+1]);

最终返回arr[0]的值即可。最终的时间复杂度为O(n*n)相对于递归过程如果数据量很大的时候将会有明显的对比。并且额外空间同样为n

代码如下：

int min(int a,int b){if(a<b) return a;else return b;}class Solution {public:    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {        int n=triangle.size();int *arr=new int[n*(n-1)/2+1];for(int i=n-1;i>=0;i--){for(int j=0;j<=i;j++){if(i==n-1) arr[(i)*(i-1)/2+j] = triangle[i][j];else if(i!=n-1) arr[(i)*(i-1)/2+j] = triangle[i][j]+min(arr[(i+1)*(i)/2+j],arr[(i+1)*(i)/2+j+1]);}}int ans=arr[0];return ans;    }};