MCMC算法—MH算法的Python实现（一）

针对离散数据概率分布的MCMC算法python实现

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对于mcmc算法，如何选择状态转移矩阵对实验结果是否有影响，设计下面几组实验

1. 输入为p=[0.9,0.05,0.05]，取q为[1/3,1/3,1/3],输出10000000个样本，观察样本的概率分布，代码如下：

#coding=utf-8'''Created on 2016年9月14日基本MCMC算法以及M-H算法的python实现@author: whzp:输入的概率分布，离散情况采用元素为概率值的数组表示N:认为迭代N次马尔可夫链收敛Nlmax:马尔可夫链收敛后又取的服从p分布的样本数isMH:是否采用MH算法，默认为True'''from __future__ import divisionimport matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib as mplimport numpy as npfrom array import arraydef mcmc(p,N=10000,Nlmax=10000,isMH=True):    A = np.array([[1.0 / len(p) for x in range(len(p))] for y in range(len(p))], dtype=np.float64)     X0 = np.random.randint(len(p))    count = 0    samplecount = 0    L = array("d",[X0])    l = array("d")    while True:        X = L[samplecount]        cur = np.argmax(np.random.multinomial(1,A[X]))        count += 1        if isMH:            a = (p[cur]*A[cur][X])/(p[X]*A[X][cur])            alpha = min(a,1)        else:            alpha = p[cur]*A[cur][X]        u = np.random.uniform(0,1)         if u<alpha:            samplecount += 1            L.append(cur)            if count>N:                l.append(cur)        if len(l)>=Nlmax:            break        else:            continue    La = np.frombuffer(L)    la = np.frombuffer(l)    return La,ladef count(q,n):    L = array("d")    l1 = array("d")    l2 = array("d")    for e in q:        L.append(e)    for e in range(n):        l1.append(L.count(e))    for e in l1:        l2.append(e/sum(l1))    return l1,l2p = np.array([0.9,0.05,0.05])a = mcmc(p,Nlmax=10000000)[1]l1 = ['state%d'% x for x in range(len(p))]plt.pie(count(a,len(p))[0],labels=l1,labeldistance=0.3,autopct='%1.2f%%')plt.title("sampling")plt.show()

图1可见该样本收敛于0.7691,0.1154,0.1155，与我们的输入的差距相差甚远

2. 把输入更改成p=[0.8,0.1,0.1]，以同样的迭代次数，输出同样数量样本可得到
图2也是同样有很大差距，可以用方差来衡量差距

3. 把输入更改成p=[0.6,0.2,0.2]，以同样的迭代次数，输出同样数量样本可得到
图3同样还是有着很大的差距

4. 最后把输入更改成p=[1/3,1/3,1/3]，以同样的迭代次数，输出同样数量样本可得到
图4这次准确率却很高

由以上四组实验，猜测使构造的转移矩阵的每一行与输入的分布p(x)相等时，可以达到较高的精度，所以，如下更改代码：

#coding=utf-8'''Created on 2016年9月15日基本MCMC算法以及M-H算法的python实现(离散数据的情况）@author: whzp:输入的概率分布，离散情况采用元素为概率值的数组表示构造的转移矩阵每一行都与输入的p相同N:认为迭代N次马尔可夫链收敛Nlmax:马尔可夫链收敛后又取的服从p分布的样本数isMH:是否采用MH算法，默认为True'''from __future__ import divisionimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npfrom array import arraydef mcmc(p,N=10000,Nlmax=10000,isMH=True):    A = np.array([p for y in range(len(p))], dtype=np.float64)     X0 = np.random.randint(len(p))    count = 0    samplecount = 0    L = array("d",[X0])    l = array("d")    while True:        X = L[samplecount]        cur = np.argmax(np.random.multinomial(1,A[X]))        count += 1        if isMH:            a = (p[cur]*A[cur][X])/(p[X]*A[X][cur])            alpha = min(a,1)        else:            alpha = p[cur]*A[cur][X]        u = np.random.uniform(0,1)         if u<alpha:            samplecount += 1            L.append(cur)            if count>N:                l.append(cur)        if len(l)>=Nlmax:            break        else:            continue    La = np.frombuffer(L)    la = np.frombuffer(l)    return La,ladef count(q,n):    L = array("d")    l1 = array("d")    l2 = array("d")    for e in q:        L.append(e)    for e in range(n):        l1.append(L.count(e))    for e in l1:        l2.append(e/sum(l1))    return l1,l2if __name__ == '__main__':        p = np.array([0.9,0.05,0.05])    a = mcmc(p)[1]    l1 = ['state%d'% x for x in range(len(p))]    plt.pie(count(a,len(p))[0],labels=l1,labeldistance=0.3,autopct='%1.2f%%')    plt.title("sampling")    plt.show()

得到如下：

与图1相比，很明显，图5准确率提高很多，依照同样程序，分别更改p，同样也可以得到对应于图2、3、4的准确率高的结果。

结论

要将状态转移矩阵的每一行都设计成与输入概率分布相一致，这样该算法才能得到更好的结果。
该算法该实现的适用范围：输入概率分布为离散的，有限的。
思考：虽然无限的离散型的应该也能按照上述的模式计算，但是对于无穷矩阵的计算，本小白还没研究，等着日后思考；而对于连续分布，则没有所谓的概率分布，而替代以概率密度，而且，由于在实现过程中使用了随机数生成，所以可以轻易通过变换随机数的方式生成的连续性分布的样本如果使用mcmc算法未免有点大炮轰蚊子，但若是考虑那些无法显示表出概率密度的连续型分布，我实在是还没想到好的解决办法，待后续解决。