算法导论学习笔记（五）计算机几何之最近点对

来源：互联网发布：mac怎么连接airplay 编辑：程序博客网时间：2024/05/18 17:40

暴力搜索所有点对的距离，时间复杂度为O(n^2)，在数据规模较为庞大的情况下，并不能很好的运行。
以下将利用分治的方法，将时间复杂度降为O(n (lg n)^2 )。

原理

1.将主问题按坐标划分成两个子问题——以直线l:x=k为中心，使得两边的点数相同。
2.当子问题求解完毕后，设ε为已经求解出的最小距离，然后以 l1:x=k-ε 和 l2:x=k+ε 为界，选取该区域的所有点，并按y轴，从小到大排序。
3.按顺序选择一个点，并分别计算改点往后7个点的距离，选择最小的距离返回。

伪代码

MERGE( A, left, right )    if left == right        return ∞    else if left + 1 == right        return GET_DISTANCE( A[left], A[right] )    mid = (left + right)/2    dis1 = MERGE( A, left, mid )     dis2 = MERGE( A, mid+1, right )    dis = MIN( dis1, dis2 )    let TMP is an array    for i=left to right        if | A[i].x-A[mid].x | < dis             TMP.insert(A[i])    for i=0 to TMP.size        for j=1 to 7            if i+j >= TMP.size                break            if dis < GET_DISTANCE( TMP[i], TMP[i+j] )                dis = GET_DISTANCE( TMP[i], TMP[i+j]    return disGET_COLSEST_DISTANCE( A )    A.sort() with A[i].x < A[j] and i < j    return MERGE( A, 0, A.size-1 )

代码实现

#include <cmath>#include <algorithm>const double DOUBLE_INFINITE = 1e50;struct Point{    int x,y;};bool cmpX( Point a, Point b ){    if( a.x == b.x )        return a.y < b.y;    return a.x < b.x;}bool cmpY( Point a, Point b ){    if( a.y == b.y )        return a.x < b.x;    return a.y < b.y;}double getDistance( Point a, Point b ){    return sqrt( pow( a.x-b.x, 2.0 ) + pow( a.y-b.y, 2.0 ) );}void getClosestDistance( Point* points, Point* tmp, int left, int right, double &minDistance ){    if( right-left <=4 ) {        double distance = DOUBLE_INFINITE;        for( int i=left;i<=right;i++ ) {            for( int j=i+1; j<=right; j++ ) {                distance = getDistance( points[i], points[j] );                minDistance = minDistance<distance? minDistance : distance;            }        }        return ;    }    int mid = (left + right)>>1;    getClosestDistance( points, tmp, left, mid, minDistance );    getClosestDistance( points, tmp, mid+1, right, minDistance );    int length = 0;    for(int i=left;i<=right;i++){        if( fabs(points[i].x - points[mid].x ) < minDistance )            tmp[length++] = points[i];    }    std::sort( tmp, tmp+length,cmpY );    double distance = DOUBLE_INFINITE;    for(int i=0;i<length;i++) {        for( int j=1; j<8 && i+j<length; j++) {            distance = getDistance( tmp[i], tmp[i+j] );            minDistance = minDistance<distance? minDistance : distance;        }    }}double getClosestDistanceOfPoints( Point* points, int sizeOfPoints, Point* tmp ){    std::sort( points, points+sizeOfPoints, cmpX );    double minDistance = DOUBLE_INFINITE;    getClosestDistance( points, tmp, 0, sizeOfPoints-1, minDistance );    return minDistance;}

写在最后

虽然最近点对有时间复杂度为 O(n lg n )的算法，但是实现其算法时，常数过于巨大，使得运行效率比O(n (lg n)^2 )更低。

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