2303: [Apio2011]方格染色

2303: [Apio2011]方格染色

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Description

Sam和他的妹妹Sara有一个包含n × m个方格的
表格。她们想要将其的每个方格都染成红色或蓝色。
出于个人喜好，他们想要表格中每个2 ×   2的方形区
域都包含奇数个（1 个或 3 个）红色方格。例如，右
图是一个合法的表格染色方案（在打印稿中，深色代
表蓝色，浅色代表红色） 。 
可是昨天晚上，有人已经给表格中的一些方格染上了颜色！现在Sam和Sara
非常生气。不过，他们想要知道是否可能给剩下的方格染上颜色，使得整个表格
仍然满足她们的要求。如果可能的话，满足他们要求的染色方案数有多少呢？ 

Input

输入的第一行包含三个整数n, m和k，分别代表表格的行数、列数和已被染
色的方格数目。 
之后的k行描述已被染色的方格。其中第 i行包含三个整数xi, yi和ci，分别
代表第 i 个已被染色的方格的行编号、列编号和颜色。ci为 1 表示方格被染成红
色，ci为 0表示方格被染成蓝色。 

Output

输出一个整数，表示可能的染色方案数目 W 模 10^9得到的值。（也就是说，如果 W大于等于10^9，则输出 W被10^9除所得的余数）。 

对于所有的测试数据，2 ≤ n, m ≤ 106
，0 ≤ k ≤ 10^6
，1 ≤ xi ≤ n，1 ≤ yi ≤ m。 

Sample Input

3 4 3
2 2 1
1 2 0
2 3 1

Sample Output

8

HINT

数据为国内数据+国际数据+修正版

鸣谢GYZ

Source

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记a[i][j]为(i,j)染色状态染成红色为1，染成蓝色为0可以发现，一个符合条件的2*2方块xor为1一般的，可以推出一个点(i,j)，染色合法的条件是，a[i][j]^a[i-1][j]^a[i][j-1]^a[i-1][j-1] = 1用这个式子去往前使劲推，，(画几个特例)发现对于(i,j)有一个是奇数时，有a[i][j] = a[1][j]^a[i][1]^a[1][1]如果两个都是偶数，那么a[i][j] = a[1][j]^a[i][1]^a[1][1]^1
事实上，还能发现，如果一个矩形的第一行及第一列染色方案确定，那么整个矩形的染色就唯一了那么上述两式就变成约束条件对于每个条件，a[i][j]是已知的，倘若我们确定a[1][1]，那么a[1][j]与a[i][1]的关系也就随之确定即一定相等or一定不等特别的，这玩意对于(i,j)有一个是1时也成立如果两个都是1，特判掉即可
那么这一堆的约束就可以看成一个个关系对于强制要求相同的，我们把他们连在一起，对于强制要求不同的，还是把他们连在一起~因为只要有约束关系存在，那么确定了一者以后另一者也就唯一确定
经过了k次的连边，原本第一行与第一列的那些点已经被分割成若干个连通块除了(1,1)代表点所在的那个块(a[1][1]是通过枚举的)，其余每块都有两种选择假设有tot个块，那么这时候的答案就是2^(tot-1)
对于强制要求不同的，，假如我们先前已经要求它们相同，那么说明不存在合法染色方案现在还剩一个问题，如何特判？？？苟蒻自己写的东西简直WA飞。。。参考了网上的方法多维护一个数组g[i]，代表i点和它的父亲的关系0代表相等，1代表不等并查集的时候顺便维护g数组就行

#include<iostream>#include<cstdio>#include<queue>#include<vector>#include<bitset>#include<algorithm>#include<cstring>#include<map>#include<stack>#include<set>#include<cmath>#include<ext/pb_ds/priority_queue.hpp>using namespace std;const int maxn = 2E6 + 10;const int mo = 1E9;int n,m,k,tot,Ans,cnt,fa[maxn],r[maxn],c[maxn],typ[maxn];int getfa(int x) {return x == fa[x]?x:fa[x] = getfa(fa[x]);}void Solve(int Now){for (int i = 1; i <= n + m; i++) fa[i] = i;fa[1] = 1 + n;for (int i = 1; i <= k; i++) {int fr = getfa(r[i]);int fc = getfa(c[i] + n);int flag = typ[i]^Now;if (r[i] % 2 == 0 && c[i] % 2 == 0) flag ^= 1;if (!flag && fr != fc) fa[fr] = fc;}for (int i = 1; i <= k; i++) {int fr = getfa(r[i]);int fc = getfa(c[i] + n);int flag = typ[i]^Now;if (r[i] % 2 == 0 && c[i] % 2 == 0) flag ^= 1;if (flag && fr == fc) return;}for (int i = 1; i <= k; i++) {int fr = getfa(r[i]);int fc = getfa(c[i] + n);if (fr != fc) fa[fr] = fc;}int ans = -1; for (int i = 1; i <= n + m; i++)if (i == getfa(i)) {if (ans == -1) ans = 1;else ans *= 2,ans %= mo;}if (ans != -1) Ans = (Ans + ans) % mo;}int getint(){char ch = getchar();int ret = 0;while (ch < '0' || '9' < ch) ch = getchar();while ('0' <= ch && ch <= '9')ret = ret*10 + ch - '0',ch = getchar();return ret;}int main(){//freopen("2303.in","r",stdin);//freopen("2303.out","w",stdout);n = getint(); m = getint();k = getint();for (int i = 1; i <= k; i++) {r[i] = getint();c[i] = getint();typ[i] = getint();}for (int i = 0; i < 2; i++) Solve(i);cout << Ans;return 0;}