详解协方差与协方差矩阵

协方差的物理意义：

协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法。 方差分析是从质量因子的角度探讨因素不同水平对实验指标影响的差异。一般说来，质量因子是可以人为控制的。 回归分析是从数量因子的角度出发，通过建立回归方程来研究实验指标与一个（或几个）因子之间的数量关系。但大多数情况下，数量因子是不可以人为加以控制的。

在概率论和统计学中，协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。

上面几个统计量看似已经描述的差不多了，但我们应该注意到，标准差和方差一般是用来描述一维数据的，但现实生活我们常常遇到含有多维数据的数据集，最简单的大家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。面对这样的数据集，我们当然可以按照每一维独立的计算其方差，但是通常我们还想了解更多，比如，一个男孩子的猥琐程度跟他受女孩子欢迎程度是否存在一些联系啊，嘿嘿~协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量。

协方差就是把一组数据的相关性给提取出来，比如一组数据组成的一个人，而人的各个部分则需要计算协方差来表示： 鼻子与眼睛有什么关系啊，眼睛与嘴巴的的关系啊  左眼与右眼的关系啊 等等。。。为后面的特征提取做准备！

协方差的结果有什么意义呢？如果结果为正值，则说明两者是正相关的(从协方差可以引出“相关系数”的定义)，也就是说一个人越猥琐就越受女孩子欢迎，嘿嘿，那必须的~结果为负值就说明负相关的，越猥琐女孩子越讨厌，可能吗？如果为0，也是就是统计上说的“相互独立”。

协方差的定义

 

对于一般的分布，直接代入E(X)之类的就可以计算出来了，但真给你一个具体数值的分布，要计算协方差矩阵，根据这个公式来计算，还真不容易反应过来。网上值得参考的资料也不多，这里用一个例子说明协方差矩阵是怎么计算出来的吧。

记住，X、Y是一个列向量，它表示了每种情况下每个样本可能出现的数。比如给定

则X表示x轴可能出现的数，Y表示y轴可能出现的。注意这里是关键，给定了4个样本，每个样本都是二维的，所以只可能有X和Y两种维度。所以

 

 

用中文来描述，就是：

协方差(i,j)=（第i列的所有元素-第i列的均值）*（第j列的所有元素-第j列的均值）

这里只有X,Y两列，所以得到的协方差矩阵是2x2的矩阵，下面分别求出每一个元素：

       所以，按照定义，给定的4个二维样本的协方差矩阵为：

 

    

用matlab计算这个例子

z=[1,2;3,6;4,2;5,2]

cov(z)

ans =

    2.9167   -0.3333

   -0.3333    4.0000

可以看出，matlab计算协方差过程中还将元素统一缩小了3倍。所以，协方差的matlab计算公式为：

    协方差(i,j)=（第i列所有元素-第i列均值）*（第j列所有元素-第j列均值）/（样本数-1）

       下面在给出一个4维3样本的实例，注意4维样本与符号X,Y就没有关系了，X,Y表示两维的，4维就直接套用计算公式，不用X,Y那么具有迷惑性的表达了。

 

 

下面的(1)指的就是均值向量！

 

    

                

        （3）与matlab计算验证

                     Z=[1 2 3 4;3 4 1 2;2 3 1 4]

                     cov(Z)

                     ans =

                          1.0000    1.0000   -1.0000   -1.0000

                          1.0000    1.0000   -1.0000   -1.0000

                         -1.0000   -1.0000    1.3333    0.6667

                          -1.0000   -1.0000    0.6667    1.3333

       可知该计算方法是正确的。我们还可以看出，协方差矩阵都是方阵，它的维度与样本维度有关（相等）。参考2中还给出了计算协方差矩阵的源代码，非常简洁易懂，在此感谢一下!

 

参考：

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_matrix

[2] http://www.cnblogs.com/cvlabs/archive/2010/05/08/1730319.html

推荐一个网站：http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section5/pmc541.htm （还没看是一个工具数学书！）

协方差

协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法。 方差分析是从质量因子的角度探讨因素不同水平对实验指标影响的差异。一般说来，质量因子是可以人为控制的。 回归分析是从数量因子的角度出发，通过建立回归方程来研究实验指标与一个（或几个）因子之间的数量关系。但大多数情况下，数量因子是不可以人为加以控制的。

在概率论和统计学中，协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。

上面几个统计量看似已经描述的差不多了，但我们应该注意到，标准差和方差一般是用来描述一维数据的，但现实生活我们常常遇到含有多维数据的数据集，最简单的大家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。面对这样的数据集，我们当然可以按照每一维独立的计算其方差，但是通常我们还想了解更多，比如，一个男孩子的猥琐程度跟他受女孩子欢迎程度是否存在一些联系啊，嘿嘿~协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量。

协方差的结果有什么意义呢？如果结果为正值，则说明两者是正相关的(从协方差可以引出“相关系数”的定义)，也就是说一个人越猥琐就越受女孩子欢迎，嘿嘿，那必须的~结果为负值就说明负相关的，越猥琐女孩子越讨厌，可能吗？如果为0，也是就是统计上说的“相互独立”。