也谈谈机器学习中的Evaluation Metrics

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判断事物的好坏需要一定的评判标准，判断分类系统的优劣自然需要一定的评判方式。作为设计机器学习系统的一个很重要的环节——评价指标(Evaluation Metric)即是本文的主角。本文首先介绍Accuracy单独作为评价指标可能有什么不足，再介绍从Precision-Recall到F-measure的推进，接着给出解决Accuracy Paradox的MCC(Matthews Correlation Coefficient)，最后浅谈从ROC(Receiver Operating Characteristic)到AUC(Area Under Curve)。通过介绍这几种常见的Metrics，可以使得我们在行家面前不至于哑口无言。好，现在进入正题。

Accuracy为什么还不够

训练一个机器学习系统，懂行的大概都知道需要将训练数据至少切割为三部分，分别是training set，developing set和test set，前面两个data set用于训练模型和调整参数，后面的test set则用于测试系统的generalization performance。如何测试呢？这里就涉及到一些评判指标。最简单也是最直观能想到的是测试系统的准确率(即Accuracy)，也就是对于test set中的N条数据，统计系统能够判断准确的数据条数M，最后进行简单相除得到MN作为评判标准。没错，很多时候以Accuracy作为评价标准并没有什么问题，那么，有什么情况使得以Accuracy作为评判标准变得不是一个好idea呢？为了探究这样的情况，我们必须深入研究一下系统的所有分类情形，特殊的，我们研究一下二元分类器的分类情形。

分类器的分类情形

假如我们用NaiveBayes算法训练出一个系统，可以用来识别邮件是否为垃圾，对于一封邮件的识别，有如下4种情况：

邮件为垃圾，系统正确识别为垃圾
邮件为垃圾，系统错误识别为非垃圾
邮件不是垃圾，系统正确识别为非垃圾
邮件不是垃圾，系统错误识别为垃圾
如上的4种情形，如果用一个2X2的表格概括起来，就是大名鼎鼎的Confusion Matrix：

Confusion Matrix

其中True和False是对于评价预测结果而言，也就是评价预测结果是正确的(True)还是错误的(False)。而Positive和Negative则是对分类器的预测结果而言，Positive为预测是垃圾，Negative是预测为非垃圾。为了表达方便，一般会以他们的缩写TP,FP,FN,TN代替。那么上面提到的邮件分类四种情形对应一下就变成如下：

邮件为垃圾，系统正确识别为垃圾(TP正确地预测为垃圾)
邮件不是垃圾，系统错误识别为垃圾(FP错误的预测为垃圾)
邮件不是垃圾，系统正确识别为非垃圾(TN正确地预测为非垃圾)
邮件为垃圾，系统错误识别为非垃圾(FN错误地预测为非垃圾)
介绍了分类器的所有可能的分类情形，对于为什么不能只是用Accuracy作为唯一的判断标准还不是很明朗，我们接着分析。
上面的Confusion Matrix只是对于一封邮件而言，那么对于多封邮件的预测结果情形，TP,FP,FN,TN则是各种情形的计数结果，假如我们有100封测试邮件，其中50封为垃圾50封为非垃圾，就可能会预测出TP=40封，TN=40封，FP = 10封，FN = 10封。那么用Accuracy来衡量的话，就会得到：

Accuracy=TP+TNTP+FP+TN+FN=0.8
感觉没多大问题。上面的情形是我们假设预测结果中垃圾邮件和非垃圾邮件是比较均匀的，也就是数量是差不多的。但是真实情形有可能是100封测试邮件中，垃圾邮件为90封，非垃圾邮件为10封，这种也就是常常说的skewed distribution。那么如果有一个trivial分类器，他永远只输出垃圾，那么TP=98，TN=0，FN=0，FP=2，此时假如还是用Accuracy来评价的话，我们可以得到：
Accuracy=98+098+2+0+0=0.98
，结果出乎意料地好，如果我们只是用Accuracy作为唯一的判断标准，那么这样trivial的分类器定当入选，这就是经常被提到的Accuracy Paradox现象。我们发现Accuracy并不能很好体现TN=FN=0这种异常现象，所以我们有必要寻求其他Metric来更好的刻画Confusion Matrix所表达的内容。
从Precision-Recall到F-Measure

上一小节我们通过Accuracy Paradox说明Accuracy作为唯一指标的不足，还有Accuracy有时并不能很好地刻画Confusion Matrix所表达的内容。这一小节我们将了解信息检索领域中研究者如何对Confusion Matrix进行拆解，得到了Precision-Recall，从而对质和量得以把控，还有如何组合Precision-Recall得到一个对Confusion Matrix的一个统一解释数字。

Precision-Recall

对于信息检索问题，我们更关注搜索到的内容与用户想要搜索的内容是否相关。如果有测试数据的话，我们是希望搜索引擎返回的内容与用户要找的越相关越好，另一方面我们想让搜索引擎返回越多的相关内容越好，所以就有了Precision和Recall这两个指标。这两个指标中文翻译很多，但是很难有直观地翻译道明其中奥妙，所以这里也不尝试翻译，大家心领神会吧。但是Precision和Recall的侧重点是不一样的：

Precision是返回的相关文献(TP)占总返回文献(TP+FP)的比例，所以Precision越大，返回的结果质量越高
Recall是返回的相关文献(TP)占总相关文献(TP+FN)的比例，所以Recall越大，返回相关的文献就越多
一个是强调质量(返回结果只要给我相关的就好)，一个是强调数量(返回相关的结果要尽可能越多越好)。按照上面的定义，我们根据Confusion Matrix可以给出Precision和Recall的数学形式：

Precision=TPTP+FP
Recall=TPTP+FN
对于生硬的数学形式，wiki上面有一幅插图很形象地表达了Precision和Recall的含义：
Precision和Recall
这两个指标哪个值高更好呢？在实际应用中，必须根据具体需求设定，举个例子，对于识别是否为超市会员和非会员的系统，我们当然希望Recall越高越好，虽然这样会混进一些非会员，但是对于超市来说并非损失，就给个折扣而已，还是赚钱。但是对于一个银行的门禁系统，肯定是要Precision越高越好，Recall可以不用那么严格，这样虽然会让你打卡打多几次，但是总比把一个外人放进来安全吧。所以根据实际业务需求，在Precision和Recall上做权衡是很有必要的。有的人说，我很懒，我不想自己手工做权衡，能不能综合Precision和Recall得到一个指标呢？答案是有的。
F-Measure

对于想自动化权衡Precision和Recall的人，F Measure是他们的福音。首先介绍最简单也是最常用的合并Precision和Recall的方式——F1meaure或F1score，办法很简单，就像两个电阻并联求总电阻的形式相似，将Precision和Recall并联一下，就近似得到它们的加权平均：

F1=2∗Precision∗RecallPrecision+Recall
，这样的其实是均匀地加权平均，利用这个指标，我们回归到上面提到的Accuracy缺陷的例子，假如分类器一直输出为垃圾，对于有100封测试邮件其中垃圾为98封的测试集：TP=98，TN=0，FN=0，FP=2，那么
Accuracy=TP+TNTP+FP+TN+FN=0.98
,我们计算一下Precision和Recall，发现
Precision=TPTP+FP=0.98
而
Recall=TPTP+FN=1
那么F1计算会得到：
F1=2∗0.98∗11+0.98=0.989
。看来利用Precision-Recall或者是它们的组合F1都无法解决上面提到的skewed distribution问题(网上大量文章都是以Accuracy Paradox的问题引出Precision-Recall到F measure，让人以为F measure可以应对那种问题，其实不然)。但是我们通过拆分Confusion Matrix，再进行组合，可以使得我们更好得把握质和量，所以种种迹象都表面Precision-Recall和F measure比简单的Accuracy具有更细粒度的解释效果。
Matthews Correlation Coefficient

上一节中，我们尝试利用F1作为Confusion Matrix的总结数字来解决Accuracy Paradox，最终以失败告终，这一节我们介绍一种可以解决这种问题的方法。

MCC详解

Matthews的原文中是这样描述这个系数的：

A correlation of:
C = 1 indicates perfect agreement,
C = 0 is expected for a prediction no better than random, and
C = -1 indicates total disagreement between prediction and observation
也就是说系数为1的时候，分类器是完美的，0的时候分类器和随机分类器没差，-1的时候分类器是最差的，所有预测结果和实际相反。那这样的系数是如何解决imbalance data问题呢？我们紧接着看他的数学形式：

MCC=TP∗TN−FP∗FN(TP+FP)(TP+FN)(TN+FP)(TN+FN)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
需要注意的是，分母中任意一对括号相加之和如果为0，那么整个MCC的值就为0。我们再回归我们的老问题，对于TP=98，TN=0，FN=0，FP=2，由于TN，FN同时为0，那么MCC则为0，说明我们简单粗暴的方式和随机分类器没有异同。
MCC本质上是一个观察值和预测值之间的相关系数，维基百科上是这样评价MCC的：
While there is no perfect way of describing the confusion matrix of true and false positives and negatives by a single number, the Matthews correlation coefficient is generally regarded as being one of the best such measures
至此，我们解决了Accuracy Paradox问题，那么是不是说明我们可以只用MCC作为唯一标准呢，聪明的读者应该学会说不是了吧，Precsion和Recall可是很好地强调质和量的关系，并且能够通过F Measure体现出来，在很多情况下，用Accuracy作为指标也是一个不错的简单选择。

从ROC到AUC

本来到此就可以结束本篇的讨论了，奈何在众多Metric中还有一个备受争论的AUC，意犹未尽，再继续讨论吧。

ROC简史

维基上这样说的：

ROC曲线首先是由二战中的电子工程师和雷达工程师发明的，用来侦测战场上的敌军载具（飞机、船舰），也就是信号检测理论。之后很快就被引入了心理学来进行信号的知觉检测。数十年来，ROC分析被用于医学、无线电、生物学、犯罪心理学领域中，而且最近在机器学习（machine learning）和数据挖掘（data mining）领域也得到了很好的发展。
一开始接触ROC(Receiver Operating Characteristic)实在是不好理解为什么名字这样取，和机器学习如何挂上半毛钱关系的。了解一下他的历史就明白了，是一群电子工程师和雷达工程师发明的，他们的世界我们不懂，呵呵。

详解ROC曲线

我们之前讨论的几个评价指标，都是围绕Confusion Matrix做的一些数学上的形式总结，ROC则另辟蹊径，试图从图上直观地刻画，网上有一个视频教程ROC curves and Area Under the Curve explained，很直观形象地介绍了ROC曲线的作图过程。还有一篇可读性极高的论文An introduction to ROC analysis非常详细直观地介绍ROC和AUC。这里我不希冀能够更直观地讲解ROC曲线的作图过程，但是还是尽我所能讲清楚。

首先ROC是一个二维曲线，那么对于二维曲线我们必须建立一个坐标系，对于ROC，他的纵坐标是TPR(True Positive Rate)，横坐标是FPR(False Positive Rate)。好，既然提到Rate了，那么对于整个测试集才有Rate的说法。回顾我们的老朋友Confusion Matrix，来看看TPR和FPR是如何定义。这里先看一幅来自An introduction to ROC analysis上面的一幅图：
Confusion Matrix
我们可以知道：

TPR=TPTP+FN=TPP
而
FPR=FPFP+TN=FPN
注意到，TPR和FPR是在Confusion Matrix上两列互相独立的统计量，和Precision-Recall有着明显的不同。好了，既然我们知道如何求取TPR和FPR，那愉快地作图吧。性急的同学可能拿起笔直接坐标系画起，标号坐标，信笔画开，结果刚画了一个点就卡住了，我们只有一个测试集，只能计算出一对(FPR,TPR)啊，只能画一个点啊，怎么可能画出一条线呢？别急，我们还没讲完。是，没错，对于一个参数确定的分类器和一个测试集，只能对应于ROC曲线上面的一个点，但是很多时候，我们的分类器对于每一个测试样例是计算出一个score，或者计算出一个概率，而分类的判定需要我们给定一个threshold θ，如果score或者概率大于θ就输出一个正结果，如果小于就输出负结果。每一个θ对于固定的测试集，都可以计算出一对(FPR,TPR)，当θ的取值为(−∞,+∞),就有无数对(FPR,TPR)与之对于，将这些点画在坐标系上，ROC便产生了。实际情况下，我们可以将分类器给出的所有分数或概率进行排序(排序只是为了能够高效求解TPR和FPR)，并从小到大用每一个分数作为θ(为什么呢？如果取排序好的两个θi,θj之间的任意值都会得到相同的一对(TPR,FPR))进行作图，我们画出来的ROC曲线如下图折线所示：
这里写图片描述
如果θ取得越小，测试样本越多，折线就会越趋向平滑。一般来说，对于好的分类器，ROC曲线会越偏向左上角(对应于(0,1)点，此时FPR=0,TPR=1代表完美的分类器)，而越靠近对角线，分类器越趋向于随机分类器，更多动态展示，请参考ROC curves and Area Under the Curve explained。也就是说，对于同一份测试集，图下分类器
ROC
一般要优于：
这里写图片描述
所代表的分类器，而该分类器一般又优于：
这里写图片描述
所代表的几乎随机的分类器。
所有迹象表明，ROC曲线包围的面积越大，分类器表现越好，那么我们是否可以利用ROC下面包围的面积大小来做为一种评判方式呢？答案自然是可以的，于是AUC便上场了。
AUC(Area Under Curve)

一开始接触AUC，如果没有什么预备知识，完全摸不着头脑，曲线下面的面积，居然是可以作为分类器的一种评判指标！然而事实就是如此，ROC曲线下面的面积，作为分类器的评判标准被广泛应用。至于如何用梯形法逼近计算面积，在An introduction to ROC analysis中有详细说明，此处不表。我们重点来讨论AUC作为评判标准到底应该如何理解。在An introduction to ROC analysis一文中，AUC是这样直观解释的：

the AUC of a classifier is equivalent to the probability that the classifier will rank a randomly chosen positive instance higher than a randomly chosen negative instance
这句话翻译过来是说，分类器的AUC相当于一个概率，一个什么样的概率呢？一个对于随机抽取的正样本和负样本，分类器会给出一个分数，使得正样本排名在负样本之前的概率。那么如果AUC越大，那么这个概率就越大，那么分类器能区分正负样本的能力就越强。好，这应该可以理解，但是有一个地方比较微妙，为什么说AUC相当于这样一个概率呢？An introduction to ROC analysis文中并没有解释。如果搞不清这一点，我们很难直观理解AUC。

好，接下来我们尝试揭开这层蒙纱。首先我们考虑概率的定义，对于任意一个合格的概率p，必须满足：

0≤p≤1
,既然AUC是一个曲线包围的面积，所以AUC满足：
AUC≥0
,并且由于
0≤TPR≤1
0≤FPR≤1
,那么AUC不会超过：
AUC≤FPR∗TPR≤1
，所以可以说AUC已经符合概率定义的基本要求。但是要真正使AUC成为一个概率，必须要有一个normalize的过程，使得
sumiAUCi=1

现在我们考虑实际情况下的作图过程，首先我们将所有测试样例进行评分并按照评分排序后，此时对于一个样本a,他的评分为为score(a),将其作为threshold也就是θ=score(a),可以得到
FPR=fpr(θ)TPR=tpr(θ)
，其中我们将每一个θ分别利用函数fpr,tpr映射到FPR,TPR。我们发现，联系TPR,FPR的纽带是θ，利用一点反函数的知识可以得到对于一个Negative样本a：
θ=score(a)=fpr−1(FPR)
TPR=tpr(fpr−1(FPR))
利用一些积分求面积的知识，我们得到：
AUC=∫10tpr(fpr−1(FPR))dFPR
,假设FPR服从0-1的均匀分布，上式我们可以看成是tpr(fpr−1(FPR))在概率分布FPR下的期望。利用统计抽样原理，我们可以得到对于所有Negative样本a：
AUC=∫10tpr(fpr−1(FPR))dFPR=∫10tpr(score(a))dFPR≈∑atpr(score(a))∑a1
接下来我们不管面积问题了，我们来做一个概率问题，考虑这样的事件E：对于随机抽取的正样本和负样本，分类器会给出一个分数，使得正样本排名在负样本之前。我们假设一个Negative样本为a,他的评分为为score(a)，Positive 样本为b，他的评分为score(b)，那么对于事件A的概率，可以如下求取：

P(E)=∑a∑b1[score(b)>score(a)]∑a∑b1
对于分子中的1[x],如果条件x为真则求值结果为1，否则为0。不过这样的布尔操作实在是太麻烦了，我们看看有没有办法替换掉。分析一下，因为b是Positive的，如果score(b)>score(a)成立，说明b是一个true positive，那么对于所有使得score(b)>score(a)成立的b进行计数，其实只要将所有b的计数乘以tpr(score(a))(可以思考一下TPR的定义)不就可以了吗？说到做到：
P(E)=∑a∑btpr(score(a))∑a∑b1
化简可得：
P(E)=(∑atpr(score(a)))(∑b1)(∑a1)(∑b1)=∑atpr(score(a))∑a1

如果假设FPR服从0-1的均匀分布，此时可得
P(E)=AUC
，也就是AUC确实是一个“对于随机抽取的正样本和负样本，分类器会给出一个分数，使得正样本排名在负样本之前的概率”。但是对于这样的假设，其实实际情形中并不多见，这也是More on ROC/AUC文中一直吐槽的。而且对于AUC作为Metric，在The Relationship Between Precision-Recall and ROC Curves一文中，指出了AUC存在的严重问题——他的衡量标准是依赖于Classifier的，也就是公共的参考标准，就像拿体重和身高去比较一样，没有意义！所以，一般对AUC必须慎用，我们的老朋友Accuracy，Precision-Recall，F-Measure还是比想象中的可靠。
参考文献

More on ROC/AUC
An introduction to ROC analysis
Wiki MCC
Wiki ROC
The Relationship Between Precision-Recall and ROC Curves