poj 1012 Joseph

Description

The Joseph’s problem is notoriously known. For those who are not familiar with the original problem: from among n people, numbered 1, 2, …, n, standing in circle every mth is going to be executed and only the life of the last remaining person will be saved. Joseph was smart enough to choose the position of the last remaining person, thus saving his life to give us the message about the incident. For example when n = 6 and m = 5 then the people will be executed in the order 5, 4, 6, 2, 3 and 1 will be saved.

Suppose that there are k good guys and k bad guys. In the circle the first k are good guys and the last k bad guys. You have to determine such minimal m that all the bad guys will be executed before the first good guy.

Input

The input file consists of separate lines containing k. The last line in the input file contains 0. You can suppose that 0 < k < 14.

Output

The output file will consist of separate lines containing m corresponding to k in the input file.

Sample Input

3
4
0

Sample Output

5
30

Source

Central Europe 1995

非常经典的“约瑟夫问题”的变形。

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意： 问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。 我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）: k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2 并且从k开始报0。 现在我们把他们的编号做一下转换： k –> 0 k+1 –> 1 k+2 –> 2 … … k-2 –> n-2 k-1 –> n-1 变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x’=(x+k)%n 如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 —- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式： 令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式 f[1]=0; f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1 由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

#include<cstdio> int main() {     int n, m, s = 0;     printf("N=%d");     scanf("%d", &n);     printf("M=%d");     scanf("%d", &m);     for(int i = 2; i <= n; i++)    {        s = (s + m) % i;     }    printf("The winner is %d\n", s + 1);     return 0;} 

本题是约瑟夫环变形 先引入Joseph递推公式，设有n个人（0,…,n-1），数m，则第i轮出局的人为f(i)=(f(i-1)+m-1)%(n-i+1),f(0)=0; f(i) 表示当前子序列中要退出的那个人（当前序列编号为0~(n-i));

拿个例子说：K=4,M=30;

f(0)=0;

f(1)=(f(0)+30-1)%8=5; 序列（0,1,2,3,4,5,6,7）中的5

f(2)=(f(1)+30-1)%7=6; 序列（0,1,2,3,4,6,7）中的7

f(3)=(f(2)+30-1)%6=5; 序列（0,1,2,3,4,6）中的6

f(4)=(f(3)+30-1)%5=4; 序列（0,1,2,3,4）中的4

……

接下来说说m的取值范围：我们考察一下只剩下k+1个人时候情况，即坏人还有一个未被处决，那么在这一轮中结束位置必定在最后一个坏人，那么开始位置在哪呢？这就需要找K+2个人的结束位置，然而K+2个人的结束位置必定是第K+2个人或者第K+1个人，这样就出现两种顺序情况：GGGG…..GGGXB 或 GGGG……GGGBX (X表示有K+2个人的那一轮退出的人）所以有K+1个人的那一轮的开始位置有两种可能即第一个位置或K+1的那个位置，限定m有两种可能：t(k+1) 或 t(k+1)+1; t>=1; 若遍历每一个m必定超时，避免超时则需要打表和限制m的范围。

/*Problem: 1012       User: sarukaMemory: 356K        Time: 141MSLanguage: G++       Result: Accepted*/#include<cstdio>const int maxn = 14;int a[maxn];int f(int k, int m){    int n, s;    n = 2 * k;    s = 0;    for(int i = 0; i < k; i++)    {        s = (s + m - 1) % (n - i);        if(s < k) return 0;         //遇到前k轮中有小于k的直接返回0    }    return 1;}int main(){    int i, n;    for(int k = 1; k <= 14; k++)    {        i = k + 1;        while(true)        {            if(f(k, i))             //t(k+1)的情况            {                a[k] = i;                break;            }            else if(f(k, i + 1))    //t(k+1)+1的情况            {                a[k] = i + 1;                break;            }            i += k + 1;        }    }    while(scanf("%d", &n) && n)    {        printf("%d\n", a[n]);    }    return 0;}

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