最长上升子序列

题意：

1759:最长上升子序列

总时间限制:

2000ms

内存限制:

65536kB

描述

一个数的序列b_i，当b₁ < b₂ < ... <b_S的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a₁,a₂, ...,a_N)，我们可以得到一些上升的子序列(a_i1,a_i2, ...,a_iK)，这里1 <=i₁ < i₂ < ... <i_K <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出

最长上升子序列的长度。

样例输入

71 7 3 5 9 4 8

样例输出

4

最长上升子序列是DP中很基础的一个模型，但却很重要，因为在很多以后的题中都要用到他来解决问题，就像01背包一样，用来理解DP是非常不错的。

解题思路：

对于本题来说一共有两种常见的方法可解，一种是O(n^n)的，还有一种是O(nlogn)的解法。两种解法都是以前i个序列为阶段，以每个阶段的最长上升子序列的个数为状态，并且每次判断第i阶段中是否有新的子序列能使f【i】更新。f【i】为第i阶段的最大上升子序列的个数。

好先来说一下n^n的算法吧。每次枚举前i个数，并枚举前i个数中的每个数，以此来检查更新。

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;int n;int a[1002];int f[1002];int main(){    scanf("%d",&n);    for(int i = 1;i <= n; i++){        scanf("%d",&a[i]);        f[i] = 1;//初始化每个数都为一个子序列，且长度为一。    }    for(int i = 2;i <= n; i++){        for(int j = 1;j < i; j++){            if(a[j] < a[i]){//判断前i个数中假如有第j个数比他小，就相当于前j个数构成的最大上升子序列和第i个数可以构成一个更大的上升子序列。                f[i] = max(f[i],f[j]+1);//判断新构成的上升子序列是否比当前的大，大的更新。            }        }    }    int ans = -9999999;    for(int i = 1;i <= n; i++)ans = max(ans,f[i]);//找出最大的上升子序列。    printf("%d",ans);}

而nlogn得算法其实就是将枚举前i个数的每个数换成了当前最大上升子序列中，他a【i】可以排在哪里。

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;int n;int a[1002];int c[1002];int find(int left,int right,int key){    while(left != right){        int mid = (left+right)/2;        if(key <= c[mid])right = mid;        else left = mid+1;    }    return left;}int main(){    scanf("%d",&n);    for(int i = 1;i <= n; i++)scanf("%d",&a[i]);    c[0] = -9999999;    int len = 0;    int j = 0;    for(int i = 1;i <= n; i++){        if(a[i] > c[len])j = ++len;//c【len】为当前最大上升子序列上升中最大的一个数，如果a【i】任然比他大，则可构成新的最大上升子序列。        else j = find(1,len,a[i]);//如果a【i】比他小就判断在当前最大上升子序列中，能排在哪里。        c[j] = a[i];//跟新最大上升子序列，可以在后面加长，也可以使前面的跟小，如果前面的数越小，则后面的数跟容易比他大。    }    printf("%d\n",len);    //for(int i = 1;i <= len; i++)printf("%d ",c[i]);}