动态规划之背包问题之逻辑（无代码）

其最重要的状态转移公式：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}（f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。）

最经典的三个问题：01背包、完全背包、多重背包。

01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一个容量为V的背包。每种物品均只有一件。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

不难看出，完全背包和多重背包都可以转化成01背包来考虑。

完全背包：第i件物品最多可以装有V/c[i]件，那么就可以假设有V/c[i]件w[i]价值的物品咯，将所有物品都拆成单件，就又是一个01背包。

多重背包：转换思路其实和完全背包一样，只是初始值不同，为n[i]。

（还有种多重背包的变型：物品要拿必须全拿，此时就是看做一个价值w[i]*n[i]，费用c[i]*n[i]的物品，做01背包。其实很多种变型最后都可以化作01背包来解决。）

状态公式优化：01背包：

for i=1..N
   for v=V..0
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

完全背包：

for i=1..N
    for v=0..V
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

多重背包：

for i=1..N
  for j=0..bag[i]
    for v=0..V
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

注意状态方程中逆序、顺序和顺序中新增的循环条件，这些都是要理解的（主要我觉得自己弱难以讲清），主要是当前状态始终是由上个状态决定的，自然会想到用一维数组来取代二维数组来优化。

参考了下面的文章，他的内容更为详细并且附有完整代码和示例题目，更具参考价值。

http://www.cnblogs.com/tanky_woo/archive/2010/07/31/1789621.html