求最大公约数gcd算法

求两个正整数a,b最大公约数方法较常用的是欧几里得提出的辗转相除法
假设a=b*k+r …….(1)，则gcd(a,b)=gcd(b,r)…….(2);
证明：
设c=gcd(a,b)，则a=c*n, b=c*m
根据上式(1)
r=a-b*k=c*n-c*m*k=(n-m*k)*c
此时需要证明c=gcd（b,r），由于b=c*m，r=c*(n-m*k)，所以只需要证明m与n-m*k互为质数即可。
假设 m=k’x, 则 n-m*k=k’*y 则 n=m*k+k’*y=k’*x*k+k’*y=k’(x*k+y),
则 a=c*n=c*k’*(x*k+y)， b=c*m=c*k’*x 因此gcd(a,b)=c*k’>c 与gcd(a,b)=c矛盾，所以m与n-m*k互为质数
结论：gcd(a,b)=gcd(b,r)

代码:

int gcd(int a,int b){    int r=a%b;    return r==0 ? b : gcd(b,r);}

时间复杂度为O(log N),以下为分析:
两次迭代后，问题的规模会变为初始的一半
假设初始序列为n0，m0(n0>m0)，每次迭代的序列分别为n1,n2,n3….. m1,m2,m3……
2k次迭代后则满足n2k