深度学习笔记（一）---神经网络

神经网络

一、概述

以监督学习为例，假设我们有训练样本集 ，那么神经网络算法能够提供一种复杂且非线性的假设模型 ，它具有参数 W，b，可以以此参数来拟合我们的数据。

为了描述神经网络，我们先从最简单的神经网络讲起，这个神经网络仅由一个“神经元”构成，以下即是这个“神经元”的图示：

这个“神经元”是一个以及截距+1为输入值的运算单元，其输出为，其中函数被称为“激活函数”。
在本教程中，我们选用sigmoid函数作为激活函数

可以看出，这个单一“神经元”的输入－输出映射关系其实就是一个逻辑回归（logistic regression）。

Sigmoid函数图像为：

注意，与其它地方（包括OpenClassroom公开课以及斯坦福大学CS229课程）不同的是，这里我们不再令。取而代之，我们用单独的参数b来表示截距。

二、神经网络模型

所谓神经网络就是将许多个单一“神经元”联结在一起，这样，一个“神经元”的输出就可以是另一个“神经元”的输入。例如，下图就是一个简单的神经网络：

我们使用圆圈来表示神经网络的输入，标上“+1”的圆圈被称为偏置节点，也就是截距项。神经网络最左边的一层叫做输入层，最右的一层叫做输出层（本例中，输出层只有一个节点）。中间所有节点组成的一层叫做隐藏层，因为我们不能在训练样本集中观测到它们的值。同时可以看到，以上神经网络的例子中有3个输入单元（偏置单元不计在内），3个隐藏单元及一个输出单元。

我们用 来表示网络的层数，本例中 =3 ，我们将第l层记为 ，于是L1是输入层，输出层是 。

本例神经网络有参数 ，其中 （下面的式子中用到）是第 l 层第 j 单元与第 l+1 层第 i 单元之间的联接参数（其实就是连接线上的权重，注意标号顺序）， 是第 l+1 层第 i 单元的偏置项。因此在本例中，, 。注意，没有其他单元连向偏置单元(即偏置单元没有输入)，因为它们总是输出+1。同时，我们用 表示第 l 层的节点数（偏置单元不计在内）。

我们用 表示第 l 层第 i 单元的激活值（输出值）。当l=1 时， ，也就是第 i 个输入值（输入值的第i 个特征）。对于给定参数集合W,b ，我们的神经网络就可以按照函数来计算输出结果。本例神经网络的计算步骤如下：

我们用 表示第 l 层第 i 单元输入加权和（包括偏置单元），比如， ，则 。

这样我们就可以得到一种更简洁的表示法。这里我们将激活函数 扩展为用向量（分量的形式）来表示，即 ，那么，上面的等式可以更简洁地表示为：

我们将上面的计算步骤叫作前向传播。回想一下，之前我们用 表示输入层的激活值，那么给定第 l 层的激活值 后，第 l+1 层的激活值 就可以按照下面步骤计算得到：

将参数矩阵化，使用矩阵－向量运算方式，我们就可以利用线性代数的优势对神经网络进行快速求解。

目前为止，我们讨论了一种神经网络，我们也可以构建另一种结构的神经网络（这里结构指的是神经元之间的联接模式），也就是包含多个隐藏层的神经网络。最常见的一个例子是 层的神经网络，第 1 层是输入层，第 层是输出层，中间的每个层 l 与层 l+1 紧密相联。这种模式下，要计算神经网络的输出结果，我们可以按照之前描述的等式，按部就班，进行前向传播，逐一计算第 层的所有激活值，然后是第 层的激活值，以此类推，直到第 层。这是一个前馈神经网络的例子，因为这种联接图没有闭环或回路。

神经网络也可以有多个输出单元。比如，下面的神经网络有两层隐藏层： 及 ，输出层 有两个输出单元。

要求解这样的神经网络，需要样本集 ，其中 。如果你想预测的输出是多个的，那这种神经网络很适用。（比如，在医疗诊断应用中，患者的体征指标就可以作为向量的输入值，而不同的输出值 可以表示不同的疾病存在与否。）