概率问题

1. 雇佣问题

• 问题描述：一个岗位雇佣员工，如果面试人员比当前员工优秀，则该人员被雇佣而替换当前员工，如何在一系列随机的n个面试人员中以较少的雇佣次数挑选较好的员工？
• 分析：设X为雇佣总次数，Xi为第i个人员是否被雇佣的指示器，即
  
  Xi={10如果第i个人员被雇佣如果第i个人员未被雇佣
  
  则有X=X1+X2+⋯+Xn。由于E[Xi]=1⋅P{Xi=1}+0⋅P{Xi=0}=P{Xi=1}，而人员i比前i−1个人员优秀的概率为1/i，即E[Xi]=P{Xi=1}=1/i，从而
  
  E[X]==E[∑i=1nXi]=∑i=1nE[Xi]∑i=1n1/i=lnn+O(1)
  
  可见面试n个人平均只雇佣其中的lnn个人。调和级数1+12+⋯+1n=lnn+O(1)，O(1)称为欧拉常数。

2. 生日悖论

• 问题描述1：房间有多少人可以使两人生日相同的概率达到50%？

• 分析：计算k个人生日互不相同的概率。n=365
  

  P==≤=1⋅(n−1n)⋅(n−2n)⋯(n−k+1n)1⋅(1−1n)⋅(1−2n)⋯(1−k−1n)1⋅e−1n⋅e−2n⋯e−k−1ne−∑k−1i=1i/n=e−k(k−1)2n
  
  其中1+x≤ex。令P≤1/2，得到k≥23。

• 问题描述2：一共多少人可以期望至少有一对人生日相同？

• 分析：设X为相同生日的两人对数目，Xij为第i个人和第j个人生日是否相同的指示器，即
  
  Xij={10第i个人和第j个人生日相同第i个人和第j个人生日不相同
  
  则有X=∑i=ik∑j=i+1kXij。而E[Xij]=1/n，取期望得
  
  E[X]=E⎡⎣∑i=ik∑j=i+1kXij⎤⎦=∑i=ik∑j=i+1kE[Xij]=k(k−1)2⋅1n
  
  因此，要让E[X]≥1，需要k≥28。

3. 球与盒子

• 问题描述1：把相同的n个球随机投入b个盒子中，球落在任意一个盒子的概率为1/b（伯努利实验，成功的概率为1/b，失败为(b−1)/b），平均有多少球落在第一个盒子里？

• 分析：落在第一个盒子的球数服从二项分布，因此落在第一个盒子的平均球数为n/b。

• 问题描述2：第一个盒子至少有一个球之前平均要投多少球？

• 分析：投球个数服从几何分布，投入第一个盒子的概率为1/b，那么期望为1/(1/b)=b。

• 问题描述3：在每个盒子里至少有一个球之前，平均要投多少球？

• 分析：设X为投球总次数，可以将X划分为b个阶段，第i个阶段需要投中一个空盒才可以进入下一个阶段，Xi为第i阶段直到投中一个空盒的次数，即Xi服从几何分布，投中空盒的概率为(b−i+1)/b，则期望E[Xi]=b/(b−i+1)。由于X=∑i=1bXi，取期望
  
  E[X]=E[∑i=1bXi]=∑i=1bE[Xi]=∑i=1bbb−i+1=b∑i=1b1i=b(lnb+O(1))≈blnb

4. 序列

• 问题描述：抛一枚均匀硬币n次，平均连续正面的最长序列为多长？
• 分析：长度为Θ(lgn)。最长序列至少为r⌈lgn⌉的概率至多是1/nr−1。例如对于n=1000，出现一系列最少2⌈lgn⌉=20次正面的概率至多是1/n2−1=1/1000，出现一系列最少3⌈lgn⌉=30次正面的概率至多是1/n3−1=1/1 000 000。

5. 抛硬币

• 问题描述1：不均匀的硬币正面概率3/4，反面1/4，同时抛两枚这样的硬币，在第一次出现两个正面的情况之前，平均要抛多少次？

• 分析：抛掷次数服从几何分布，成功出现两个正面的概率为3/4⋅3/4=9/16，那么抛掷次数期望为1/(9/16)=16/9次。

• 问题描述2：不均匀的硬币正面概率3/4，反面1/4，持续抛一枚这样的硬币，在第一次连续出现两个正面的情况之前，平均要抛多少次？

• 分析：这是一个可以用马尔可夫链解决的问题。在得到两个正面HH的过程中，一共有null，H，HH三个状态，一步状态转移概率矩阵为
  
  ⎡⎣⎢1/41/403/40003/41⎤⎦⎥
  
  定义等待时间Ts为从起始状态s达到THH状态所需抛掷硬币的次数，使用对下一步取条件的方法，列写方程为
  
  ⎡⎣⎢TnullTHTHH⎤⎦⎥=⎡⎣⎢110⎤⎦⎥+⎡⎣⎢1/41/403/40003/41⎤⎦⎥⎡⎣⎢TnullTH0⎤⎦⎥
  
  解得Tnull=28/9，取期望E[Tnull]=28/9