三维重建学习（三）相机的标定（下）

前言

这一部分主要讲解相机的标定在matlab中的具体实现方法。

由于特殊原因，现在实现的具体代码找不到了，我会在以后重新补上。

Computation of Camera 相机矩阵的计算

Direct Linear Transform

相机矩阵的计算运用了一个很重要的方法，叫做DLT (Direct Linear Transform)，即“直接线性变换”。这种方法的核心思维就是将所求矩阵转化成一个列向量，即将AB＝0（A，B都是矩阵）转化成A‘b＝0，这里b变成了一个向量，但是它储存的信息并没有减少，比如假设B是5x6的矩阵，那么b就是30x1的向量。这种方法的作用是巨大的，简单一点说，DLT的作用就是通过重组方程，得到一种比较好求解的形式。原本要求解AB＝0方程中的矩阵B，现在要求解A’b＝0中的向量b，即矩阵A’的right null space（零空间）。

补充完方法后，现在进入正题

x＝PX即投影方程，我们的目的是从这个方程中解出P，即相机矩阵。PX的运算结果是一个向量，即x，那么我们就可以运用向量的Cross Product（叉积）来构造方程。显然一个向量与自己的叉积是为零的。

接下来，将对应的值代入。注意在三维空间的线性代数中，有一个convention（不成文但大家都遵循的规则），即任意一个向量a，默认其为列向量。所以在PX的展开式中，可以看到，其实p1，p2，p3应该代表行向量，分别表示矩阵P的1，2，3行，它们储存的信息是一行的信息，但是只要用p1来表示一个向量，它就是列向量。所以我们强行要表示行向量的时候，就要用它的transpose（转置），即p1T

接下来对得到的乘积进行重组，得到了上图的结果。注意，这时候p1，p2，p3是列向量，所以Ap＝0中的p已经满足了DLT的要求，即变成了一个列向量。

这一步乍一看好像没啥大变化，实际作用是舍去了一个无用的方程。因为方程Ap＝0一定是有Non-trivial Solution（即非零解）的，也就是说明矩阵A的所有行之间是Linear Dependent（非线性独立）。换句话说，看似方程Ap＝0是由三个方程构成的，其实这三个方程中的任意一个都能用另外两个的Linear Combination（线性组合）来表示出来，所以实际有意义的只有两个方程。换句话说，一组三维与二维点能够提供两个方程，在上一篇文章中讲过，相机矩阵P有11个自由度，所以我们需要11个方程来解P，显然就要拿到6组对应点，但实际上最后一组点只要一个方程就够了。

现在拿到了方程，就剩下解方程了，只要求解矩阵A的right null space，就能拿到向量p。

Singular Value Decomposition（SVD）奇异值分解

SVD是线性代数中很重要的一个方法，也是matlab中的一个很基本的函数。这里我们运用SVD方法来求解一个矩阵的null space（零空间）。

关于SVD的具体理论知识我就不讲了，可以参考百度或者Wiki，或者看线性代数的教材。这里只讲如何运用SVD。

SVD可以将一个m x n的矩阵A分解成三个矩阵的乘积，即 A＝UDV*

＋U是一个m x m的矩阵
＋D是一个m x n的Diagonal Matrix（对角阵）
＋V是一个n x n的矩阵

求解矩阵A的null space，即从矩阵V的列向量来构造。

因为方程Ap＝0中的矩阵A是一个11x12的矩阵，并且每一行之间都是线性独立的，根据等量关系

Rank (Null (A)) = (Number of columns) - Rank (A)

即一个矩阵对应的零空间的秩等于它的行数减去它本身的秩。

所以可以得到，矩阵A的零空间的秩即为12-11=1，也就是说A的零空间是一个一维的空间。

所以SVD结果中矩阵V的最后一列，一个12x1的列向量，即为矩阵A的零空间的基底。换句话说，如果用V12来表示矩阵V的最后一列的话，aV12（a为任意常数）就可以表示整个A的null space。所以我们只要拿到V12，就能算作一个合理的向量p的解，因为相机矩阵P本身具有scale ambiguity（上篇文章中介绍过，产生的原因是齐次坐标的性质），所以V12乘任意一个常数都是一个合理的解。为了统一解的结果，一般会用Normalization，即将向量p的模化为单位量1，然后重新组合向量p得到相机矩阵P。

这部分的最后再讲解一下SVD更一般化的用法。

SVD求解null space的时候，结果中的矩阵V的最后a个向量（a取决于null space的维数）作为基底张成的空间，即为null space

具体来说，这个问题因为null space是一维的，所以只要取最后一个向量，以它张成的空间，即为所求的null space，这是最简单的情况

在以后求解Relative Pose的时候，会遇到多维的null space。假如null space是二维的，就要用向量Vn（最后一个向量）和Vn－1（倒数第二个向量）作为基底

所求的null space便为 (aVn + bVn-1)，这里a和b是两个任意常数，需要用额外的constraint来确定a和b的值。

Recover Camera Parameters 相机矩阵的具体参数

求解相机中心C

拿到相机矩阵后，首先求解相机中心C，即在参考坐标中所标定相机的相机中心的空间坐标

这里用到的是一个常识，每一个空间点投影在相机中会对应一个二维点坐标，如果一个相机的中心投影在它本身的平面的上，对应的点即为平面点原点。所以 PC ＝ 0。

这时候我觉得你应该想到怎么求解C了吧，C不就是矩阵P的null space吗，而且矩阵P不是满秩，Rank (P) ＝ 2，那么对应的P的null space就是一维的，也就是最简单的情况。

用SVD求解C是一种线性代数的方案，这里给出了另一种普通代数方案，至于怎么得出的这个解的形式我就不讲了。如果SVD还不太会用的话可以直接套这个公式。

求解内部矩阵K和旋转矩阵R

在求解之前，同样，我们先观察一下。

＋相机矩阵K是一个Upper Triangular Matrix（上三角矩阵）
＋旋转矩阵R是一个Orthogonal Matrix（正交矩阵）

有了这些性质，求解过程就容易一些了。

对于这种情况，需要用到另一个线性代数的方法，RQ－Decomposition。但是matlab中没有这个函数，不过有它的“好朋友”QR－Decomposition

因为这个方法相对较难理解，同理，这里也有简单的代数方案。

相机矩阵P可以表示称上图的形式，因为C已经解出来了，所以M只要通过P的最后一列就能求出，接下来的运算都围绕M展开。

旋转矩阵R也可以分解成x，y和z三个不同的分量

直接套用上图公式，便可求的绕x旋转的分量。同理，Ry和Rz的公式给出在下图

最终旋转矩阵R可以有其三个分量的乘积求出，然后利用下图公式，便可求出内部矩阵

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

总结

到此为止相机的标定就结束了，简单小结一下，相机的标定并不是很难，这部分最重要的就是DLT和SVD，这两个方法在后续的学习中会继续使用，一定要融会贯通。