数据结构----关键路径详解

前言
Live beautifully, dream passionately, love completely.
Name：Willam
Time：2017/3/7

1、AOE-网介绍

我们在学习拓扑排序（如果没学，可以看看这篇博客：拓扑排序详解）的时候，已经接触了什么是AOV-网，AOV-网是优先考虑顶点的思路，而我们也同样可以优先考虑边，这个就是AOE-网的思路。

若在带权的有向无环图中，以顶点表示事件，以有向边表示活动，边上的权值表示活动的开销（如该活动持续的时间），则此带权的有向无环图称为AOE网。记住AOE-网只是比AOV-网多了一个边的权重，而且AOV-网一般是设计一个庞大的工程各个子工程实施的先后顺序，而我们的AOE-网就是不仅仅关系整个工程中各个子工程的实施的先后顺序，同时也关系整个工程完成最短时间。

因此，通常在AOE网中列出完成预定工程计划所需要进行的活动，每个活动计划完成的时间，要发生哪些事件以及这些事件与活动之间的关系，从而可以确定该项工程是否可行，估算工程完成的时间以及确定哪些活动是影响工程进度的关键。

AOE-网还有一个特点就是：只有一个起点（入度为0的顶点）和一个终点（出度为0的顶点），并且AOE-网有两个待研究的问题：

1. 完成整个工程需要的时间
2. 哪些活动是影响工程进度的关键

2、名词解释

• 关键路径：AOE-网中，从起点到终点最长的路径的长度（长度指的是路径上边的权重和）
• 关键活动：关键路径上的边

假设起点是vo，则我们称从v0到vi的最长路径的长度为vi的最早发生时间，同时，vi的最早发生时间也是所有以vi为尾的弧所表示的活动的最早开始时间，使用e（i）表示活动ai最早发生时间，除此之外，我们还定义了一个活动最迟发生时间，使用l（i）表示，不推迟工期的最晚开工时间。我们把e（i）=l（i）的活动ai称为关键活动，因此，这个条件就是我们求一个AOE-网的关键路径的关键所在了。

所以，我们现在要求的就是每弧所对应的e（i）和l（i），求这两个变量的公式是：

e(i)=ve(j)l(i)=vl(k)-dut(<j,k>)

变量的介绍：

首先我们假设活动a（i）是弧<j,k>上的活动，j为弧尾顶点，k为弧头（有箭头的一边），ve（j）代表的是弧尾j的最早发生时间，vl（k）代表的是弧头k的最迟发生时间dut（<j,k>）代表该活动要持续的时间，既是弧的权值

好了，先在我们知道了求e（i）和l（i）就必须先知道各个顶点的ve和vl了，所以下面我们就来求每个顶点ve和vl。其中，我们要知道ve和vl是要分开来求的。

先求ve，从ve（0）=0开始往前推（其实就是从起点开始往后，求各个顶点最早发生时间），公式如下：

ve（j）=Max{ve{i}+dut（<i,j>）};<i,j>属于T，j=1,2.....n-1，其中T是所有以第j个顶点为头的弧的集合。n为顶点的个数

下面我们继续求：各个顶点的vl，vl是从vl（n-1）=ve（n-1）往后推进（其实就是从终点开始往前求各个顶点的最迟发生时间，其中终点的ve和vl是相等的）

vl（i）=Min{vl(j)-dut(<i,j>)}<i,j>属于S，i=n-2,n-3.....0其中，S是所有以第i个顶点为尾的弧的集合

3、求关键路径的步骤

1. 输入顶点数和边数，已经各个弧的信息建立图
2. 从源点v1出发，令ve[0]=0;按照拓扑序列往前求各个顶点的ve。如果得到的拓扑序列个数小于网的顶点数n，说明我们建立的图有环，无关键路径，直接结束程序
3. 从终点vn出发，令vl[n-1]=ve[n-1]，按逆拓扑序列，往后求其他顶点vl值
4. 根据各个顶点的ve和vl求每个弧的e（i）和l（i），如果满足e（i）=l（i），说明是关键活动。

4、求关键路径的代码实现

• CriticalPath.h文件的代码：

/************************************************************//*                程序作者：Willam                          *//*                程序完成时间：2017/3/6                    *//*                有任何问题请联系：[e-mail]       *//************************************************************///@尽量写出完美的程序#pragma once//#pragma once是一个比较常用的C/C++杂注，//只要在头文件的最开始加入这条杂注，//就能够保证头文件只被编译一次。/*求解关键路径问题，必须是有向无环图才有关键路径*/#include<iostream>#include<stack>#include<string>using namespace std;//表结点struct ArcNode {    int start;    //弧尾的顶点的下标    int end;    //弧头的顶点的下标 ，有箭头的一方    int weight; //弧的权重    ArcNode * next; //下一条弧};//头结点struct Vnode {    ArcNode * firstarc;  //第一条依附在该该顶点的弧    string data;};class Graph_DG {private:    int vexnum; //顶点个数    int edge;   //边的条数    Vnode * arc; //邻接表    int *indegree; //各个顶点的入度情况    stack<int> List; //拓扑序列中各个边的情况    int * ve;  //记录每个顶点的最早发生时间    int * vl;  //记录每个顶点最迟发生时间public:    Graph_DG(int vexnum, int edge);     ~Graph_DG();//析构函数    bool check_edge_value(int, int, int); //检查边的信息是否合法    void createGraph();//创建一个新的图    void print();//打印图的邻接表    bool topological_sort();    bool CriticalPath();};

• CriticalPath.cpp文件的代码

#include"CriticalPath.h"Graph_DG::Graph_DG(int vexnum, int edge) {          /*        初始化一些基本的信息，        包括边和顶点个数，各个顶点入度数组，邻接表的等        */        this->vexnum = vexnum;        this->edge = edge;        this->arc = new Vnode[this->vexnum];        this->indegree = new int[this->vexnum];        this->ve = new int[this->vexnum];        this->vl = new int[this->vexnum];        for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) {            this->indegree[i] = 0;            this->ve[i] = 0;            this->arc[i].firstarc = NULL;            this->arc[i].data = "v" + to_string(i + 1);        }}//释放内存空间Graph_DG::~Graph_DG() {    ArcNode * p, *q;    for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) {        if (this->arc[i].firstarc) {            p = this->arc[i].firstarc;            while (p) {                q = p->next;                delete p;                p = q;            }        }    }    delete[] this->arc;    delete[] this->indegree;}//判断我们每次输入的的边的信息是否合法//顶点从1开始编号bool Graph_DG::check_edge_value(int start, int end,int weight) {    if (start<1 || end<1 || start>vexnum || end>vexnum || weight < 0) {        return false;    }    return true;}void Graph_DG::createGraph() {    cout << "请输入每条边的起点和终点的编号（顶点从1开始编号）以及每条边的权重" << endl;    int count = 0; //记录初始化边的条数    int start, end, weight;    while (count != this->edge) {        cin >> start >> end >> weight;        while (!check_edge_value(start, end, weight)) {            cout << "输入的信息不合法，请重新输入：" << endl;            cin >> start >> end >> weight;        }        ArcNode * temp = new ArcNode;        temp->start = start-1;        temp->end = end-1;        temp->weight = weight;        temp->next = NULL;        //如果当前顶点的还没有边依附时，        ++indegree[temp->end];   //对应的弧头的顶点的入度加1        if (this->arc[start - 1].firstarc == NULL) {            this->arc[start - 1].firstarc = temp;        }        else {            ArcNode * now = this->arc[start - 1].firstarc;            while (now->next) {                now = now->next;            }//找到该链表的最后一个结点            now->next = temp;        }        ++count;    }}void Graph_DG::print() {    cout << "图的邻接表为：" << endl;    int  count = 0;    while (count != this->vexnum) {        cout << this->arc[count].data << " ";        ArcNode * temp = this->arc[count].firstarc;        while (temp) {            cout << "<"                << this->arc[temp->start].data                << ","                << this->arc[temp->end].data                << ">="                << temp->weight                << " ";            temp = temp->next;        }        cout << "^" << endl;        ++count;    }}bool Graph_DG::topological_sort() {    cout << "图的拓扑序列为：" << endl;    stack<int> s; //保存入度为0的顶点下标    ArcNode * temp;    int i;    for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {        if (!indegree[i]) s.push(i); //入度为0 ，则入栈    }    //count用于计算输出的顶点个数    int count = 0;    while (!s.empty()) {//如果栈为空，退出循环        i = s.top(); //i等于栈顶的元素        s.pop();        cout << this->arc[i].data << " ";//输出拓扑序列        temp = this->arc[i].firstarc;        this->List.push(i);        while (temp) {            if (!(--indegree[temp->end])) {//如果入度减少到为0，则入栈                s.push(temp->end);            }            //同时更新ve的值            if ((ve[i] + temp->weight) > ve[temp->end]) {                ve[temp->end] = ve[i] + temp->weight;            }            temp = temp->next;        }        ++count;    }    if (count == this->vexnum) {        cout << endl;        return true;    }    cout << "此图有环，无拓扑序列" << endl;    return false;//说明这个图有环}bool Graph_DG::CriticalPath() {    if (!this->topological_sort()) {        cout << "此图有环，无关键路径" << endl;        return false;    }    cout << "图的关键路径为：" << endl;    //初始化vl的值都为ve[this->vexnum-1]    int k;    for (k = 0; k < this->vexnum; k++) {        vl[k] = ve[this->vexnum - 1];    }    ArcNode * temp;    while (!this->List.empty()) {        k = List.top();//从逆拓扑排序开始，求vl        List.pop();        temp = this->arc[k].firstarc;        while (temp) {            //dut<k,temp->end>，从以第k个顶点为弧尾集合中选择一个最小的值            //来作为第i个顶点的最迟发生时间            if (vl[k] > (vl[temp->end] - temp->weight)) {                vl[k] = vl[temp->end] - temp->weight;            }            temp = temp->next;        }    }    int ee;    int el;    for (k = 0; k < this->vexnum; k++) {        temp= temp = this->arc[k].firstarc;        while (temp) {            ee = ve[k];            el = vl[temp->end] - temp->weight;            if (ee == el) {//这两个值相等，说明它为关键活动：                cout << this->arc[k].data                    << "----"                    << this->arc[temp->end].data                    << "="                    << temp->weight                    << endl;            }            temp = temp->next;        }    }}

• main.cpp文件的代码

#include"CriticalPath.h"//检验输入边数和顶点数的值是否有效，可以自己推算为啥：//顶点数和边数的关系是：((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edgebool check(int Vexnum, int edge) {    if (Vexnum <= 0 || edge <= 0 || ((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge)        return false;    return true;}int main() {    int vexnum; int edge;    cout << "输入图的顶点个数和边的条数：" << endl;    cin >> vexnum >> edge;    while (!check(vexnum, edge)) {        cout << "输入的数值不合法，请重新输入" << endl;        cin >> vexnum >> edge;    }    Graph_DG graph(vexnum, edge);    graph.createGraph();    graph.print();    graph.CriticalPath();    system("pause");    return 0;}

构造下图：

输入：

9 111 2 61 3 41 4 52 5 13 5 14 6 25 7 95 8 76 8 47 9 28 9 4

输出：

从输出可以看出，这个图有两条关键路径：
第一条就是：

v1--v2--v5--v7--v9

第二条是：

v1--v2--v5--v8--v9

我们在构造下图的关键路径：

输入：

6 81 2 31 3 22 4 22 5 33 4 43 6 34 6 25 6 1

输出：

从输出可以看出，这个图有一条关键路径：

v1--v3--v4--v6