树——堆的运用

来源：互联网发布：苹果淘宝app打不开编辑：程序博客网时间：2024/05/14 20:32

程序=算法+数据结构。今天所学的是“数据结构”中的“树”。

一、树的定义、特点、一些概念

（1）定义：任意两个节点间有且只有一条路径的无向图。

（2）特点：任意两个节点间有且只有一条路径连接；n个节点有n-1条边；在树中增加一条边会构成回路。

（3）一些概念：根（没有父节点的节点）、父节点、子节点、叶节点（没有子节点的节点）、内部节点、深度（从根到节点的层数）。

二、二叉树

（1）定义：每个节点最多有两个子节点的树。

（2）特殊二叉树：满二叉树（每个内部节点都有两个子节点，即有2^h-1个节点，h为深度）；完全二叉树（即最后一层从右向左连续缺少若干个节点，其余各层都是满的）。

（3）应用：堆\并查集。

（4）Tip：可以只用一维数组存储完全二叉树（此时S型穿插，记图）。

三、堆

堆是一种特殊的完全二叉树，分为最小堆和最大堆。最小堆是所有父节点都比子节点要小的完全二叉树，最大堆是所有父节点都比子节点要大的完全二叉树。

1、建立堆

（1）建立最小堆

首先，创建用来存放堆的数组，假如为h[101]，堆的大小为n；

接着，读入n个数据到数组h[ ]中;

最后，对这n个数据进行建堆；

代码如下：

#include

int h[101];

int n;

void swap(int x,int y)

{

int t;

t=h[x];

h[x]=h[y];

h[y]=t;

return;

}

void siftdown(int i)

{

int t,flag=0;

while(i*2<=n&&flag==0)

{

if (h[i]>h[i*2])

t=i*2;

else

t=i;//已经用t作为标记，因而t=i或者t=i*2，也就是t编号可能为父节点编号，又可能为左儿子编号

if (i*2+1<=n)

if(h[t]>=h[i*2+1])//此时可能是父节点编号和右儿子比，也可能是左节点和右节点对比

t=i*2+1;

if(t!=i)//因为t表示的是三者（两者）中最小的编号，而i表示的肯定是父节点的编号，

//因此如果两者不相等，说明有比它更小的

{

swap(t,i);

i=t;//把最小的和它交换

}

else

flag=1;

}

return;

}

void creat()

{

int i;

for(i=n/2;i>=1;i--)

siftdown(i);

return;

}

int main()

{

int i,num;

scanf("%d",&num);

for(i=1;i<=num;i++)

scanf("%d",&h[i]);

n=num;

creat();

……

}

（2）建立最大堆

最大堆的建立和最小堆的建立一样，只是将siftdown( )函数相应的修改，即用t记录值较大的节点编号。

2、堆的运用——堆排序

（1）利用最大堆排序

     void heapsort()
     {
          while(n>1)
         {
              swap(1,n);
              n--;
              siftdown(1);
           }
          return;
      }

其中，siftdown()函数是建立最大堆的函数。经heapsort()函数后，数组h[n]已经从小到大排好顺序。

（2）利用最小堆排序

       int deletemax()
       {
             int t;
             t=h[1];
             h[1]=h[n];
             n--;
             siftdown(1);
              returnt;
         }

此时的siftdown()函数是建立最小堆的函数，保证了t值肯定是最小堆的堆顶，也就是数组的最小值。

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