平衡二叉树

树旋转是在二叉树中的一种子树调整操作, 每一次旋转并不影响对该二叉树进行中序遍历的结果. 树旋转通常应用于需要调整树的局部平衡性的场合. 树旋转包括两个不同的方式, 分别是左旋转和右旋转. 两种旋转呈镜像, 而且互为逆操作.

 平衡二叉树在进行插入操作的时候可能出现不平衡的情况，AVL树即是一种自平衡的二叉树，它通过旋转不平衡的节点来使二叉树重新保持平衡，并且查找、插入和删除操作在平均和最坏情况下时间复杂度都是O(log n)

 

AVL树的旋转一共有四种情形，注意所有旋转情况都是围绕着使得二叉树不平衡的第一个节点展开的。

 

1. LL型

    平衡二叉树某一节点的左孩子的左子树上插入一个新的节点，使得该节点不再平衡。这时只需要把树向右旋转一次即可，如图所示，原A的左孩子B变为父结点，A变为其右孩子，而原B的右子树变为A的左子树，注意旋转之后Brh是A的左子树（图上忘在A于Brh之间标实线）

2. RR型

    平衡二叉树某一节点的右孩子的右子树上插入一个新的节点，使得该节点不再平衡。这时只需要把树向左旋转一次即可，如图所示，原A右孩子B变为父结点，A变为其左孩子，而原B的左子树Blh将变为A的右子树。

3. LR型

      平衡二叉树某一节点的左孩子的右子树上插入一个新的节点，使得该节点不再平衡。这时需要旋转两次，仅一次的旋转是不能够使二叉树再次平衡。如图所示，在B节点按照RR型向左旋转一次之后，二叉树在A节点仍然不能保持平衡，这时还需要再向右旋转一次。

4. RL型

      平衡二叉树某一节点的右孩子的左子树上插入一个新的节点，使得该节点不再平衡。同样，这时需要旋转两次，旋转方向刚好同LR型相反。

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二叉查找树不是严格的O(logN)，导致了在真实场景中没有用武之地，谁也不愿意有O(N)的情况发生，

作为一名码农，肯定会希望能把“范围查找”做到地球人都不能优化的地步。

     当有很多数据灌到我的树中时，我肯定会希望最好是以“完全二叉树”的形式展现，这样我才能做到“查找”是严格的O(logN)，

比如把这种”树“调正到如下结构。

     

这里就涉及到了“树节点”的旋转，也是我们今天要聊到的内容。

 

一：平衡二叉树（AVL）

1：定义

       父节点的左子树和右子树的高度之差不能大于1，也就是说不能高过1层，否则该树就失衡了，此时就要旋转节点，在

编码时，我们可以记录当前节点的高度，比如空节点是-1，叶子节点是0，非叶子节点的height往根节点递增，比如在下图

中我们认为树的高度为h=2。

 1 #region 平衡二叉树节点 2     /// <summary> 3     /// 平衡二叉树节点 4     /// </summary> 5     /// <typeparam name="K"></typeparam> 6     /// <typeparam name="V"></typeparam> 7     public class AVLNode<K, V> 8     { 9         /// <summary>10         /// 节点元素11         /// </summary>12         public K key;13 14         /// <summary>15         /// 增加一个高度信息16         /// </summary>17         public int height;18 19         /// <summary>20         /// 节点中的附加值21         /// </summary>22         public HashSet<V> attach = new HashSet<V>();23 24         /// <summary>25         /// 左节点26         /// </summary>27         public AVLNode<K, V> left;28 29         /// <summary>30         /// 右节点31         /// </summary>32         public AVLNode<K, V> right;33 34         public AVLNode() { }35 36         public AVLNode(K key, V value, AVLNode<K, V> left, AVLNode<K, V> right)37         {38             //KV键值对39             this.key = key;40             this.attach.Add(value);41 42             this.left = left;43             this.right = right;44         }45     }46     #endregion

 

2：旋转

    节点再怎么失衡都逃不过4种情况，下面我们一一来看一下。

① 左左情况（左子树的左边节点）

我们看到，在向树中追加“节点1”的时候，根据定义我们知道这样会导致了“节点3"失衡，满足“左左情况“，可以这样想，把这

棵树比作齿轮，我们在“节点5”处把齿轮往下拉一个位置，也就变成了后面这样“平衡”的形式，如果用动画解释就最好理解了。

 1         #region 第一种：左左旋转（单旋转） 2         /// <summary> 3         /// 第一种：左左旋转（单旋转） 4         /// </summary> 5         /// <param name="node"></param> 6         /// <returns></returns> 7         public AVLNode<K, V> RotateLL(AVLNode<K, V> node) 8         { 9             //top：需要作为顶级节点的元素10             var top = node.left;11 12             //先截断当前节点的左孩子13             node.left = top.right;14 15             //将当前节点作为temp的右孩子16             top.right = node;17 18             //计算当前两个节点的高度19             node.height = Math.Max(Height(node.left), Height(node.right)) + 1;20             top.height = Math.Max(Height(top.left), Height(top.right)) + 1;21 22             return top;23         }24         #endregion

 

② 右右情况（右子树的右边节点）

同样，”节点5“满足”右右情况“，其实我们也看到，这两种情况是一种镜像，当然操作方式也大同小异，我们在”节点1“的地方

将树往下拉一位，最后也就形成了我们希望的平衡效果。

 1         #region 第二种：右右旋转（单旋转） 2         /// <summary> 3         /// 第二种：右右旋转（单旋转） 4         /// </summary> 5         /// <param name="node"></param> 6         /// <returns></returns> 7         public AVLNode<K, V> RotateRR(AVLNode<K, V> node) 8         { 9             //top：需要作为顶级节点的元素10             var top = node.right;11 12             //先截断当前节点的右孩子13             node.right = top.left;14 15             //将当前节点作为temp的右孩子16             top.left = node;17 18             //计算当前两个节点的高度19             node.height = Math.Max(Height(node.left), Height(node.right)) + 1;20             top.height = Math.Max(Height(top.left), Height(top.right)) + 1;21 22             return top;23         }24         #endregion

 

③左右情况（左子树的右边节点）

从图中我们可以看到，当我们插入”节点3“时，“节点5”处失衡，注意，找到”失衡点“是非常重要的，当面对”左右情况“时，我们将

失衡点的左子树进行"右右情况旋转"，然后进行”左左情况旋转“，经过这样两次的旋转就OK了，很有意思，对吧。

 1         #region 第三种：左右旋转（双旋转） 2         /// <summary> 3         /// 第三种：左右旋转（双旋转） 4         /// </summary> 5         /// <param name="node"></param> 6         /// <returns></returns> 7         public AVLNode<K, V> RotateLR(AVLNode<K, V> node) 8         { 9             //先进行RR旋转10             node.left = RotateRR(node.left);11 12             //再进行LL旋转13             return RotateLL(node);14         }15         #endregion

 

④右左情况(右子树的左边节点）

这种情况和“情景3”也是一种镜像关系，很简单，我们找到了”节点15“是失衡点，然后我们将”节点15“的右子树进行”左左情况旋转“，

然后进行”右右情况旋转“，最终得到了我们满意的平衡。

 1         #region 第四种：右左旋转（双旋转） 2         /// <summary> 3         /// 第四种：右左旋转（双旋转） 4         /// </summary> 5         /// <param name="node"></param> 6         /// <returns></returns> 7         public AVLNode<K, V> RotateRL(AVLNode<K, V> node) 8         { 9             //执行左左旋转10             node.right = RotateLL(node.right);11 12             //再执行右右旋转13             return RotateRR(node);14 15         }16         #endregion

 

3：添加

    如果我们理解了上面的这几种旋转，那么添加方法简直是轻而易举，出现了哪一种情况调用哪一种方法而已。

 1  #region 添加操作 2         /// <summary> 3         /// 添加操作 4         /// </summary> 5         /// <param name="key"></param> 6         /// <param name="value"></param> 7         /// <param name="tree"></param> 8         /// <returns></returns> 9         public AVLNode<K, V> Add(K key, V value, AVLNode<K, V> tree)10         {11             if (tree == null)12                 tree = new AVLNode<K, V>(key, value, null, null);13 14             //左子树15             if (key.CompareTo(tree.key) < 0)16             {17                 tree.left = Add(key, value, tree.left);18 19                 //如果说相差等于2就说明这棵树需要旋转了20                 if (Height(tree.left) - Height(tree.right) == 2)21                 {22                     //说明此时是左左旋转23                     if (key.CompareTo(tree.left.key) < 0)24                     {25                         tree = RotateLL(tree);26                     }27                     else28                     {29                         //属于左右旋转30                         tree = RotateLR(tree);31                     }32                 }33             }34 35             //右子树36             if (key.CompareTo(tree.key) > 0)37             {38                 tree.right = Add(key, value, tree.right);39 40                 if ((Height(tree.right) - Height(tree.left) == 2))41                 {42                     //此时是右右旋转43                     if (key.CompareTo(tree.right.key) > 0)44                     {45                         tree = RotateRR(tree);46                     }47                     else48                     {49                         //属于右左旋转50                         tree = RotateRL(tree);51                     }52                 }53             }54 55             //将value追加到附加值中（也可对应重复元素）56             if (key.CompareTo(tree.key) == 0)57                 tree.attach.Add(value);58 59             //计算高度60             tree.height = Math.Max(Height(tree.left), Height(tree.right)) + 1;61 62             return tree;63         }64         #endregion

4：删除

删除方法跟添加方法也类似，当删除一个结点的时候，可能会引起祖先结点的失衡，所以在每次”结点“回退的时候计算结点高度。

 1 #region 删除当前树中的节点 2         /// <summary> 3         /// 删除当前树中的节点 4         /// </summary> 5         /// <param name="key"></param> 6         /// <param name="tree"></param> 7         /// <returns></returns> 8         public AVLNode<K, V> Remove(K key, V value, AVLNode<K, V> tree) 9         {10             if (tree == null)11                 return null;12 13             //左子树14             if (key.CompareTo(tree.key) < 0)15             {16                 tree.left = Remove(key, value, tree.left);17 18                 //如果说相差等于2就说明这棵树需要旋转了19                 if (Height(tree.left) - Height(tree.right) == 2)20                 {21                     //说明此时是左左旋转22                     if (key.CompareTo(tree.left.key) < 0)23                     {24                         tree = RotateLL(tree);25                     }26                     else27                     {28                         //属于左右旋转29                         tree = RotateLR(tree);30                     }31                 }32             }33             //右子树34             if (key.CompareTo(tree.key) > 0)35             {36                 tree.right = Remove(key, value, tree.right);37 38                 if ((Height(tree.right) - Height(tree.left) == 2))39                 {40                     //此时是右右旋转41                     if (key.CompareTo(tree.right.key) > 0)42                     {43                         tree = RotateRR(tree);44                     }45                     else46                     {47                         //属于右左旋转48                         tree = RotateRL(tree);49                     }50                 }51             }52             /*相等的情况*/53             if (key.CompareTo(tree.key) == 0)54             {55                 //判断里面的HashSet是否有多值56                 if (tree.attach.Count > 1)57                 {58                     //实现惰性删除59                     tree.attach.Remove(value);60                 }61                 else62                 {63                     //有两个孩子的情况64                     if (tree.left != null && tree.right != null)65                     {66                         //根据平衡二叉树的中顺遍历，需要找到”有子树“的最小节点67                         tree.key = FindMin(tree.right).key;68 69                         //删除右子树的指定元素70                         tree.right = Remove(tree.key, value, tree.right);71                     }72                     else73                     {74                         //自减高度75                         tree = tree.left == null ? tree.right : tree.left;76 77                         //如果删除的是叶子节点直接返回78                         if (tree == null)79                             return null;80                     }81                 }82             }83 84             //统计高度85             tree.height = Math.Max(Height(tree.left), Height(tree.right)) + 1;86 87             return tree;88         }89         #endregion

5: 测试

不像上一篇不能在二叉树中灌有序数据，平衡二叉树就没关系了，我们的需求是检索2012-7-30 4:00:00 到 2012-7-30 5:00:00

的登陆用户的ID，数据量在500w，看看平衡二叉树是如何秒杀对手。

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wow,相差98倍，这个可不是一个级别啊...AVL神器。