51Nod 算法马拉松18 复杂度分析 二进制按位累计代价

题目大意

给出一棵n个点的树(以1号点为根)，定义dep[i]为点i到根路径上点的个数。众所周知，树上最近公共祖先问题可以用倍增算法解决。现在我们需要算出这个算法精确的复杂度。我们定义计算点i和点j最近公共组先的精确复杂度为bit[dep[i]−dep[lca(i,j)]]+bit[dep[j]−dep[lca(i,j)]](bit[i]表示i在二进制表示下有多少个1，lca(i,j)表示点i和点j的最近公共祖先)。为了计算平均所需的复杂度为多少，请你帮忙计算任意两点计算最近公共组先所需复杂度的总和。
即计算∑ni=1∑nj=i+1bit[dep[i]−dep[lca(i,j)]]+bit[dep[j]−dep[lca(i,j)]]。

n≤105

解题思路

由于是计算二进制中1的个数，我们可以按位来求贡献。考虑在找lca时的倍增算法，即每次往上跳2k个节点，对于本题来说倍增跳的次数实际就是对答案的贡献。我们考虑设F[i][j]表示节点i处，上一步跳了2j个格子有多少个，也就意味着这些点的下一步肯定只能是20...j−1的。状态转移只需枚举每个状态的下一步是2的多少次方，然后转移就可以了。

现在的问题就是统计状态F[i][j]对于答案的贡献。一个显然的结论就是当前状态最多只能向上跳2j−1个节点，也就是说与这些状态能求lca的点就是当前点向上2j−1个节点所处节点的子树减去当前点的子树（这个也很好理解，画个图看看就可以了）。那么把每个状态的答案累计起来就是答案了。

程序

//YxuanwKeith#include <cstring>#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int MAXN = 1e5 + 5, MAXM = 20;int N, top, F[MAXN][20], Fa[MAXN][20], Size[MAXN], Deep[MAXN], D[MAXN];int tot, Last[MAXN], Next[MAXN * 2], Go[MAXN * 2];LL Ans;void Link(int u, int v) {    Next[++ tot] = Last[u], Last[u] = tot, Go[tot] = v;}void Dfs(int Now, int Pre) {    Fa[Now][0] = Pre, Size[Now] = 1, Deep[Now] = Deep[Pre] + 1;    for (int p = Last[Now]; p; p = Next[p]) {        int v = Go[p];        if (v == Pre) continue;        Dfs(v, Now);        Size[Now] += Size[v];    }}int Son(int fa, int Now) {    for (int i = 19; i + 1; i --)        if (Deep[Fa[Now][i]] > Deep[fa]) Now = Fa[Now][i];    return Now;}void Get(int Now, int Pre) {    D[Deep[Now]] = Now;    for (int p = Last[Now]; p; p = Next[p]) {        int v = Go[p];        if (v == Pre) continue;        Get(v, Now);    }    F[Now][19] ++;    for (int i = 0; i < 20; i ++) {        int fa = Fa[Now][i];        if (!fa) break;        for (int j = i + 1; j < 20; j ++) {            if (!F[Now][j]) continue;            int top = (!Fa[fa][i]) ? 1 : D[Deep[Fa[fa][i]] + 1];            int Siz = Size[top] - Size[D[Deep[fa] + 1]];            Ans += 1ll * Siz * F[Now][j];            F[fa][i] += F[Now][j];          }    }}void Prepare() {    for (int j = 1; j < 20; j ++)        for (int i = 1; i <= N; i ++)            Fa[i][j] = Fa[Fa[i][j - 1]][j - 1];}int main() {    scanf("%d", &N);    for (int i = 1; i < N; i ++) {        int u, v;        scanf("%d%d", &u, &v);        Link(u, v), Link(v, u);    }    Dfs(1, 0);    Prepare();    Get(1, 0);    printf("%lld\n", Ans);}