HDU 4059-容斥原理 +拉格朗日插值法

来源：互联网发布：apache 官网下载64位编辑：程序博客网时间：2024/04/30 04:08

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4059

题意：

给出n，n<=1e8

求1到n里，所有与n互质的数的四次方和

在这里直接考虑，1+....n^4 减去所有与n不互质的数的4次方

首先我们分解n的质因子，不会很多个

根据容斥原理，

我们枚举质因子集合S,

那么得到k=n/s,为s的倍数的个数，

而这部分数的四次方和的贡献显然是 k^4（1+2^4+3^4+......x^4）

然后容斥一下就好了，关键是推公式...233智商低不会推，暴力拉格朗日插一下，

插出1+...n^4= （6*n^5+15n^4+3n^10）/30

求一下30的逆元就可以o1算出答案了。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;long long p[15];int tot;long long n;const long long mod=1e9+7;const long long mm=233333335;long long get4(long long x){    long long tmp=x*x % mod;    return tmp * tmp % mod;}long long f(long long x){    long long sum=0;    long long tmp3=x * x % mod * x % mod;    sum=(sum+tmp3*10) %mod;;    long long tmp4=tmp3*x % mod;    sum=(sum+tmp4*15 % mod) % mod;    long long tmp5=tmp4*x % mod;    sum=(sum+tmp5*6 % mod) % mod;    sum=(sum-x+mod)% mod;    long long ans=sum * mm % mod;    return ans;}int main(){        //freopen("in.txt","r",stdin);    //freopen("output.txt","w",stdout);    int tt; scanf("%d",&tt);    while (tt--)    {        scanf("%lld",&n);        long long  nn=n;        tot=0;        for (long long i=2; i*i<=n; i++)        {            if (nn % i==0)            {                while (nn % i==0)                    nn/=i;                p[tot++]=i;            }        }        if (nn>1)            p[tot++]=nn;        /*for (int i=0; i<tot; i++)            printf("%d ",p[i]);*/        long long ans=0;        for (int state=1; state<(1<<tot); state++)        {            int num=0;            long long pp=1;            for (int i=0; i<tot; i++)                if (state & (1<<i))                {                    num++;                    pp*=p[i];                }            long long  k=n/pp;            long long  tmp=get4(pp)*f(k) % mod;            if (num % 2)                ans+=tmp;            else ans-=tmp;            ans=ans % mod;        }        ans=f(n)-ans;        ans=(ans+mod)%mod;        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}

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