[数据结构]第一章-思维题

作业题：

1.3 相亲大会

（终于理解了最大连续子串和问题O（n）做法，开心。最朴素的做法是O（n^3），发现在第三重循环（从i到j累加）其实每次都做了重复的工作，可改进为在前一次的sum再加aj变为O（n^2）。若划分为子问题，将这一串拆成左右两个部分，中间横跨左右子串的部分（左子串的末尾一定包含，右子串的起始一定包含）相当于确定了子串末尾求往左延伸能多远，和确定了子串起始往右延伸能多远然后合并在一起，这需要O（n）时间。那么T（n） = 2*T（n/2）+O（n）。最终是个O（nlogn）的复杂度。这时我们发现，如果确定了子串的起始点或末尾点，那么就能用O（n）的时间做完。所以有了动规的做法，b[i]为以i为结束点的最大子串和，b[i] = max（b[i-1]+a[i],a[i]）。发现若b[i-1]是一个负数那么显然b[i] = a[i]，否则b[i] = b[i-1]+a[i]。那么就可以不用b[i]这个数组，用Max来更新遍历过程中的最大值，从第一个点开始往后加，每次更新Max，加到sum为负的时候说明现在sum包含的这一串再往后加的话已无任何贡献，舍弃掉这个点以及之前的一串，sum = 0，再从下一个点开始继续往后加。为什么这整个串都得扔掉呢，会不会有末尾的一小串的和>0呢？可以证明，如果末尾的一串>0，总和<0，那么前面的那一串和一定<0，就说明早在前面那一小串被遍历完的时候就已经扔掉了，是矛盾的。（或者理解成加到了i这个点才造成整个串<0，说明i是造成结果变小的差劲的数字，不得不舍弃掉，又因为连续子串不间断，所以前面的一串都得扔。）这就是最后的O（n）的算法。）

#include<cstdio>  #include<iostream>  #include<algorithm>   using namespace std;  int arr[100010];  int main()  {      int n;      cin >> n;      int i;      for(i = 0; i < n; i++)          cin >> arr[i];      int sum = 0;      int Max = -1000000001; //注意连续子串和可能为负，Max不可为0     for(i = 0; i < n; i++)      {          sum +=arr[i];          if(sum > Max) Max = sum;          if(sum < 0) sum = 0;      }      cout << Max << endl;      return 0;   }

同类问题：求连续子序列的和的绝对值最小值；连续子序列的长度的最小值….（待解决）

1.4 心存疑惑的兰

（将这串数字sort之后从小的开始往后比较，若相邻差值大于1则较小的数字加1为答案，若不存在差值大于1，那么最大的数字加1为答案。）

#include<cstdio>  #include<iostream>  #include<algorithm>   using namespace std;  int arr[1010];  int main()  {      int n;      cin >> n;      int i;      for(i = 1; i <= n; i++)          cin >> arr[i];      sort(arr+1,arr+1+n);      bool flag = true;      for(i = 1; i <= n; i++)      {          if(arr[i-1]+1 < arr[i])  //arr[0]=0 注意没有1的情况        {              flag = false;              cout << arr[i-1]+1 << endl;              break;          }      }      if(flag) cout << arr[n]+1 << endl;      return 0;  }  

思路2：

因为n特别小只到1000，而ai的范围又特别大，那么说明这一串数字是非常离散的，只要有一个ai比1000大，那么前面就一定存在空位。所以开一个1000的bool数组flag来存数字1~1000已存在的状态，最后遍历一遍没被标记过的即为最小。

    bool flag[1002];    int n;    scanf("%d",&n);    int i,num;    for(int i = 0; i < n; i++)    {        scanf("%d",&num);        if(num < 1001 && !flag[num]) flag[num] = true;    }    i = 1;    while(flag[i]) i++;    printf("%d\n",i);

————
练习题：

1.1 单身狗进化

（先求出阶乘再求位数显然是不可取的..因为n的最大值是25000.. 考虑到一个数n的位数等于log10(n)的整数部分+1，log(n!) = log(n)+log(n-1)+…+log(1)，于是可以先求出log(n!)，再加一即为答案。）

#include<iostream>  #include<cstdio>  #include<cmath>  using namespace std;  int main()  {      int n;      cin >> n;      double sum = 0;      for(int i = 1; i <= n; i++)          sum+=log10((double)i);       cout << (int)sum+1 << endl;       return 0;  }  

1.2 青子的生日

（好像是挑战里的原题诶0 0 要尽可能玩的多，那么希望每个游戏都能结束得越早越好，这样就有更大机会玩更多。所以按照结束的越早越好来排序这些区间，然后从第一个开始计数，然后找到比结束时间大的下一个游戏的开始时间，cnt++，直到遍历完）

#include<iostream>  #include<cstdio>  #include<cmath>  #include<set>  #include<algorithm>  using namespace std;  int i;  struct play  {      int s;      int e;  }p[110];  bool cmp( const play & p1,const play & p2)  {      return p1.e < p2.e;  }  int main()  {      int n;      cin >> n;      for(i = 0; i < n; i++)          cin >> p[i].s >> p[i].e;      sort(p,p+n,cmp);      int cnt = 1;      int now = p[0].e;      for(i = 1; i < n; i++)      {          if(now <= p[i].s)          {              cnt++;              now = p[i].e;          }      }      cout << cnt << endl;      return 0;  }