递归算法及其应用

递归算法概述：

　　递归算法设计的基本思想是：对于一个复杂的问题，把原问题分解为若干个相对简单类同的子问题，继续下去直到子问题简单到能够直接求解，也就是说到了递推的出口，这样原问题就有递推得解。
　　在数学与计算机科学中，递归是指在函数的定义中使用函数自身的方法。
　　递归算法是一种直接或者间接地调用自身算法的过程。在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。

递归算法解决问题的特点：

　　(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。
　　(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。
　　(3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。所以一般不提倡用递归算法设计程序。
　　(4) 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等。所以一般不提倡用递归算法设计程序。在实际编程中尤其要注意栈溢出问题。
　　
　　借助递归方法，我们可以把一个相对复杂的问题转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解，另外我们需要确定递归在什么时候结束，也就是确定递归的终止条件。递归方法只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算，大大地减少了程序的代码量。但在带来便捷的同时，也会有一些缺点，也即：通常用递归方法的运行效率不高。

递归算法应用：

1.求阶乘：

怎么求3的阶乘? 3的阶乘等于3乘与2的阶乘怎么求2的阶乘? 2的阶乘等于2乘与1的阶乘怎么求1的阶乘? 1的阶乘等于1乘与0的阶乘怎么求0的阶乘? 我们不需要求0的阶乘，因为已知0的阶乘为1

　　0的阶乘为1是人为规定的，也就是已知条件。

　　通过这么分析问题，提出n的阶乘怎么求？
　　回答是：如果n为0，则返回1，否则返回n乘与n-1的阶乘。

　　下面用php来演示求5的阶乘：

<?phpfunction jiecheng($n){    if($n == 1){        return 1;    }    $jieguo = $n * jiecheng($n-1);    return $jieguo;}$v1 = jiecheng(5);echo "$v1";/*演示调用过程：$v1 = jiecheng(5)  相当于：$v1 = 5 * jiecheng(4)  ==>>$v1 = 5 * ( 4 * jiecheng(3) )  ==>>$v1 = 5 * ( 4 * ( 3 * jiecheng( 2 ) ) )    ==>>$v1 = 5 * ( 4 * ( 3 * ( 2 * jiecheng( 1 ) ) ) )    ==>>$v1 = 5 * ( 4 * ( 3 * ( 2 * 1 ) ) )    ==>>$v1 = 5 * ( 4 * ( 3 * 2 ) )    ==>>$v1 = 5 * ( 4 * 6 )    ==>>$v1 = 5 * 12   ==>>$v1 = 120  */?>

简写形式也就是：

function jiecheng($n){    return $n == 0 ? 1 : ( $n * jiecheng($n-1) );}

　　阶乘的递归的终止条件是n==0；缩小问题的方法则是发现了n-1的问题和n的问题是一致的。

　　显然，递归的基础是函数调用，而函数调用的基础是Stack。所以每次递归的开销，则是需要不停的进行Stack的push和pop操作，这样会耗费大量的空间，也可能会造成冗余运算。
　　解决的办法有：尾递归，动态规划。

2.汉诺塔问题：

　　汉诺塔是一个经典的游戏。有三根杆子A，B，C。A杆上有N个(N>1)穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至C杆：
1. 每次只能移动一个圆盘；
2. 大盘不能叠在小盘上面。

汉诺塔的传说：
　　传说印度某间寺院有三根柱子，上串64个金盘。寺院里的僧侣依照一个古老的预言，以上述规则移动这些盘子；预言说当这些盘子移动完毕，世界就会灭亡。这个传说叫做梵天寺之塔问题(Tower of Brahma puzzle)。
若传说属实，僧侣们需要2^64 − 1步才能完成这个任务；若他们每秒可完成一个盘子的移动，就需要5846亿年才能完成。整个宇宙现在也不过137亿年 ！

下面说说具体的思路：
　　 - 当只有一个盘子的时候，只需要从将A塔上的一个盘子移到C塔上。
　　- 当A塔上有两个盘子时，先将A塔上的1号盘子（编号从上到下）移动到B塔上，再将A塔上的2号盘子移动的C塔上，最后将B塔上的小盘子移动到C塔上。
　　 - 当A塔上有3个盘子时，先将A塔上编号1至2的盘子（共2个）移动到B塔上（需借助C塔），然后将A塔上的3号最大的盘子移动到C塔，最后将B塔上的两个盘子借助A塔移动到C塔上。
　　 - 当A塔上有n个盘子时，先将A塔上编号1至n-1的盘子（共n-1个）移动到B塔上（借助C塔），然后将A塔上最大的n号盘子移动到C塔上，最后将B塔上的n-1个盘子借助A塔移动到C塔上。
　　 - 综上，除了只有一个盘子时不需要借助其他塔外，其余情况均一样（只是事件的复杂程度不一样）。

　　 具体可参考如下JavaScript代码：

<script>window.onload = function(){//参数的含义分别为：第一个参数：前n个盘子（包括n），第二个参数：盘子移动前所在的柱子，//第三个参数：盘子在移动时所借助的柱子，第四个参数：盘子移动的到目的柱子function hannuota(n, a, b, c){    if(n ==1){  //只有一个盘子，直接将a柱子的盘子移动到目的柱子          document.write("将第"+ n +"个盘子, 从"+ a +"柱子移动到"+ c +"柱子<br />");       }else{        hannuota(n-1, a, c, b); //先把a柱子上的前n-1个盘子从a柱子借助c柱子移动到b柱子        //把a柱子上的第n个盘子直接移动到c柱子        document.write("将第"+ n +"个盘子, 从"+ a +"柱子移动到"+ c +"柱子<br />");        hannuota(n-1, b, a, c); //再把b柱子上的前n-1个盘子从b柱子借助a柱子移动到c柱子    }}hannuota(3,"A","B","C");}</script>

运行结果：

将第1个盘子, 从A柱子移动到C柱子将第2个盘子, 从A柱子移动到B柱子将第1个盘子, 从C柱子移动到B柱子将第3个盘子, 从A柱子移动到C柱子将第1个盘子, 从B柱子移动到A柱子将第2个盘子, 从B柱子移动到C柱子将第1个盘子, 从A柱子移动到C柱子