172. Factorial Trailing Zeroes

来源：互联网发布：淘宝店铺号系统繁忙编辑：程序博客网时间：2024/04/29 08:00

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!.

Note: Your solution should be in logarithmic time complexity.

重点在于质因数的运用。

一个数的阶乘可以写成其所有质数的n次方相乘的形式，例如：

10！= 2^8 * 3^4 * 5^2 * 7^1。

30!=2^26 * 3^14 * 5^7 * 7^4 * 11^2 * 13^2 * 17 * 19 * 23 * 29。

观察上面的式子，可以发现，只有质数2和质数5相乘能产生0，那么只要求有多少个（2*5）就可以了，又因为5的个数总是小于2的个数的，

所以只要知道5的个数就可以了。比如10！中质数5的个数为2，那么10！末尾就有2个0，

比如30！中质数5的个数为7，那么30！末尾就有7个0，

那么怎么求5的个数呢？

1）最直接的方法就是求出N的阶乘的所有因式(1,2,3,...,N)分解中5的指数。然后求和。下面的代码可以说明原理和过程，但是会超时：

class Solution { //这种方式超时。但是更能说明原理，每个过程都能体现public:    int trailingZeroes(int n)    {        int num = 0;        int i,j;        for (i = 5;i <= n;i += 5)        {            j = i;            while (j % 5 == 0)            {                num++;                j /= 5;            }        }        return num;    }};

2）

个数 = N/5 + N /(5*5) + N/(5*5*5).....直到N/(5的K次方)等于0

公式中 N/5表示不大于N的数中能被5整除的数贡献一个5，N/(5*5)表示不大于N的数中能被25整除的数再贡献一个5.......

代码如下：

class Solution {  //log5(n)public:    int trailingZeroes(int n)    {        int num = 0;        while(n)        {            num += n / 5;            n = n / 5;        }        return num;    }};

参考：http://blog.chinaunix.net/uid-20766194-id-1850404.html

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