进制转换

一.本文所涉及的内容（Contents）

1. 本文所涉及的内容（Contents）
2. 背景（Contexts）
3. 进制转换算法（Convert）
   1. （二、八、十六进制） → （十进制）
      1. 二进制 → 十进制
      2. 八进制 → 十进制
      3. 十六进制 → 十进制
   2. （十进制） → （二、八、十六进制）
      1. 十进制 → 二进制
      2. 十进制 → 八进制
      3. 十进制 → 十六进制
   3. （二进制） ↔ （八、十六进制）
      1. 二进制 → 八进制
      2. 八进制 → 二进制
      3. 二进制 → 十六进制
      4. 十六进制 → 二进制
   4. （八进制） ↔ （十六进制）
      1. 八进制 → 十六进制
      2. 十六进制 → 八进制
4. 扩展阅读
5. 参考文献（References）

二.背景（Contexts）

　　之前使用SQL把十进制的整数转换为三十六进制，SQL代码请参考：SQL Server 进制转换函数，其实它是基于二、八、十、十六进制转换的计算公式的，进制之间的转换是很基础的知识，但是我发现网络上没有一篇能把它说的清晰、简单、易懂的文章，所以我才写这篇文章的念头，希望能让你再也不用担心、害怕进制之间的转换了。

　　下面是二、八、十、十六进制之间关系的结构图：

（Figure1：进制关系结构图）

下文会分4个部分对这个图进行分解，针对每个部分会以图文的形式进行讲解：

1. （二、八、十六进制） → （十进制）；
2. （十进制） → （二、八、十六进制）；
3. （二进制） ↔ （八、十六进制）；
4. （八进制） ↔ （十六进制）；

三.进制转换算法（Convert）

　　在数字后面加上不同的字母来表示不同的进位制。B（Binary)表示二进制，O（Octal）表示八进制，D（Decimal）或不加表示十进制，H（Hexadecimal）表示十六进制。例如：(101011)B=(53)O=(43)D=(2B)H

(一) （二、八、十六进制） → （十进制）

（Figure2：其他进制转换为十进制）

• 二进制 → 十进制

　　方法：二进制数从低位到高位（即从右往左）计算，第0位的权值是2的0次方，第1位的权值是2的1次方，第2位的权值是2的2次方，依次递增下去，把最后的结果相加的值就是十进制的值了。

　　例：将二进制的(101011)B转换为十进制的步骤如下：

1. 第0位 1 x 2^0 = 1；

2. 第1位 1 x 2^1 = 2；

3. 第2位 0 x 2^2 = 0；

4. 第3位 1 x 2^3 = 8；

5. 第4位 0 x 2^4 = 0；

6. 第5位 1 x 2^5 = 32；

7. 读数，把结果值相加，1+2+0+8+0+32=43，即(101011)B=(43)D。

• 八进制 → 十进制

　　方法：八进制数从低位到高位（即从右往左）计算，第0位的权值是8的0次方，第1位的权值是8的1次方，第2位的权值是8的2次方，依次递增下去，把最后的结果相加的值就是十进制的值了。

　　八进制就是逢8进1，八进制数采用 0～7这八数来表达一个数。

　　例：将八进制的(53)O转换为十进制的步骤如下：

1. 第0位 3 x 8^0 = 3；

2. 第1位 5 x 8^1 = 40；

3. 读数，把结果值相加，3+40=43，即(53)O=(43)D。

• 十六进制 → 十进制

　　方法：十六进制数从低位到高位（即从右往左）计算，第0位的权值是16的0次方，第1位的权值是16的1次方，第2位的权值是16的2次方，依次递增下去，把最后的结果相加的值就是十进制的值了。

　　十六进制就是逢16进1，十六进制的16个数为0123456789ABCDEF。

　　例：将十六进制的(2B)H转换为十进制的步骤如下：

1. 第0位 B x 16^0 = 11；

2. 第1位 2 x 16^1 = 32；

3. 读数，把结果值相加，11+32=43，即(2B)H=(43)D。

(二) （十进制） → （二、八、十六进制）

（Figure3：十进制转换为其它进制）

• 十进制 → 二进制

　　方法：除2取余法，即每次将整数部分除以2，余数为该位权上的数，而商继续除以2，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数读起，一直到最前面的一个余数。 

　　例：将十进制的(43)D转换为二进制的步骤如下：

1. 将商43除以2，商21余数为1；

2. 将商21除以2，商10余数为1；

3. 将商10除以2，商5余数为0；

4. 将商5除以2，商2余数为1；

5. 将商2除以2，商1余数为0； 

6. 将商1除以2，商0余数为1； 

7. 读数，因为最后一位是经过多次除以2才得到的，因此它是最高位，读数字从最后的余数向前读，101011，即(43)D=(101011)B。

（Figure4：图解十进制 → 二进制）

• 十进制 → 八进制

　　方法1：除8取余法，即每次将整数部分除以8，余数为该位权上的数，而商继续除以8，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数起，一直到最前面的一个余数。

　　例：将十进制的(796)D转换为八进制的步骤如下：

1. 将商796除以8，商99余数为4；

2. 将商99除以8，商12余数为3；

3. 将商12除以8，商1余数为4；

4. 将商1除以8，商0余数为1；

5. 读数，因为最后一位是经过多次除以8才得到的，因此它是最高位，读数字从最后的余数向前读，1434，即(796)D=(1434)O。

（Figure5：图解十进制 → 八进制）

　　方法2：使用间接法，先将十进制转换成二进制，然后将二进制又转换成八进制；

（Figure6：图解十进制 → 八进制）

• 十进制 → 十六进制

　　方法1：除16取余法，即每次将整数部分除以16，余数为该位权上的数，而商继续除以16，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数起，一直到最前面的一个余数。

　　例：将十进制的(796)D转换为十六进制的步骤如下：

1. 将商796除以16，商49余数为12，对应十六进制的C；

2. 将商49除以16，商3余数为1；

3. 将商3除以16，商0余数为3；

4. 读数，因为最后一位是经过多次除以16才得到的，因此它是最高位，读数字从最后的余数向前读，31C，即(796)D=(31C)H。

（Figure7：图解十进制 → 十六进制）

　　方法2：使用间接法，先将十进制转换成二进制，然后将二进制又转换成十六进制；

（Figure8：图解十进制 → 十六进制）

(三) （二进制） ↔ （八、十六进制）

（Figure9：二进制转换为其它进制）

• 二进制 → 八进制

　　方法：取三合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每三位取成一位，接着将这三位二进制按权相加，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的八进制数。如果向左（向右）取三位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足三位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足三位。

　　例：将二进制的(11010111.0100111)B转换为八进制的步骤如下：

1. 小数点前111 = 7；

2. 010 = 2；

3. 11补全为011，011 = 3；

4. 小数点后010 = 2；

5. 011 = 3；

6. 1补全为100，100 = 4；

7. 读数，读数从高位到低位，即(11010111.0100111)B=(327.234)O。

（Figure10：图解二进制 → 八进制）

二进制与八进制编码对应表：

二进制

八进制

000

0

001

1

010

2

011

3

100

4

101

5

110

6

111

7

 

• 八进制 → 二进制

　　方法：取一分三法，即将一位八进制数分解成三位二进制数，用三位二进制按权相加去凑这位八进制数，小数点位置照旧。

　　例：将八进制的(327)O转换为二进制的步骤如下：

1. 3 = 011；

2. 2 = 010；

3. 7 = 111；

4. 读数，读数从高位到低位，011010111，即(327)O=(11010111)B。

（Figure11：图解八进制 → 二进制）

• 二进制 → 十六进制

　　方法：取四合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每四位取成一位，接着将这四位二进制按权相加，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的十六进制数。如果向左（向右）取四位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足四位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足四位。

　　例：将二进制的(11010111)B转换为十六进制的步骤如下：

1. 0111 = 7；

2. 1101 = D；

3. 读数，读数从高位到低位，即(11010111)B=(D7)H。

（Figure12：图解二进制 → 十六进制）

• 十六进制 → 二进制

　　方法：取一分四法，即将一位十六进制数分解成四位二进制数，用四位二进制按权相加去凑这位十六进制数，小数点位置照旧。

　　例：将十六进制的(D7)H转换为二进制的步骤如下：

1. D = 1101；

2. 7 = 0111；

3. 读数，读数从高位到低位，即(D7)H=(11010111)B。

（Figure13：图解十六进制 → 二进制）

(四) （八进制） ↔ （十六进制）

（Figure14：八进制与十六进制之间的转换）

• 八进制 → 十六进制

　　方法：将八进制转换为二进制，然后再将二进制转换为十六进制，小数点位置不变。

　　例：将八进制的(327)O转换为十六进制的步骤如下：

1. 3 = 011；

2. 2 = 010；

3. 7 = 111；

4. 0111 = 7；

5. 1101 = D；

6. 读数，读数从高位到低位，D7，即(327)O=(D7)H。

（Figure15：图解八进制 → 十六进制）

• 十六进制 → 八进制

　　方法：将十六进制转换为二进制，然后再将二进制转换为八进制，小数点位置不变。

　　例：将十六进制的(D7)H转换为八进制的步骤如下：

1. 7 = 0111；

2. D = 1101；

3. 0111 = 7；

4. 010 = 2；

5. 011 = 3；

6. 读数，读数从高位到低位，327，即(D7)H=(327)O。

（Figure16：图解十六进制 → 八进制）

四.扩展阅读

　　1. 包含小数的进制换算：

(ABC.8C)H=10x16^2+11x16^1+12x16^0+8x16^-1+12x16^-2

=2560+176+12+0.5+0.046875

=(2748.546875)D

　　2. 负次幂的计算：

2^-5=2^(0-5)=2^0/2^5=1/2^5

同底数幂相除，底数不变，指数相减，反过来

3. 我们需要了解一个数学关系，即23=8，24=16，而八进制和十六进制是用这关系衍生而来的，即用三位二进制表示一位八进制，用四位二进制表示一位十六进制数。接着，记住4个数字8、4、2、1（23=8、22=4、21=2、20=1）。

五.参考文献（References）

二进制、八进制、十进制、十六进制之间转换

二进制如何转换成八进制