Radix-Sorting(线性阶 多关键字排序算法 基数排序)

1.引入：

我们发现也经过证实，交换式的排序的算法的时间复杂度的下界是O(n*lgn),但是这真的就是我们的排序算法的极限了吗，事实并不是这样的，我们的多关键字的分配式排序--本文的基数排序就是如此却是打破了这样的瓶颈

分配式的Radix-Sorting算法成功的将我们的算法的复杂度优化到无限接近线性阶的完美的O(n)，下面，我们就来一一道来

2.前身：

桶式排序：

我们先假定排序这样的一个数组

1,9,4,8,2,7,5,6,3,10

很显然，你们都会说出什么快排啊，归并排序，插入排序啊，堆排序啊什么的，但是我们就题目本身来看的话，可不可以这么来考虑

我们现在假设这里有10个桶，每个桶用来存放权值是相应的标号的数字的个数

那么很显然初始的状态应该是

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

按照题目来看的话，我们扫描一遍，将相应的数组入桶，结果为

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

最后我们从桶1开始一直输出到桶10

很明显就会得到

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

很显然，这样的算法我们的时间耗费完全只是在扫描和输出上了，完全接近我们的O(n)的线性阶时间复杂度

但是我们需要明确一点，这里的桶式排序有一些明显的缺陷

1.无法排序负数

2.需要消耗大量的额外空间，对于极限情况1,2000来说，显然会造成力不从心的情况

于是，这里就引出了我们的基数排序

3.基数排序概念

基数排序的专业说法应该是：对单逻辑关键字的多关键字排序，也就是说，我们将待排对象分类城多种关键字，我们对不同的关键字都进行一趟桶式排序，然后我们对结果进行收集（这里的描述有一些偏向LSD，但是会方便我们的理解，这里我们不要过深究就这一点）

定义：

对有n个关键字的记录序列

{r1,r2,r3,r4,r5...rn}

每个记录中都含有d个关键字{k0,k1,k2,k3,k4,...kd}

我们的基数排序要求对于任意的两个r之间我们都要满足前者的k关键字必须全部大于或者小于后者的全部关键字

4.思路分类：

对于基数排序，我们这里存在着两种不同的排序思路

1.LSD（最低位优先）

这里的最低位优先的意思是，我们从最次为的关键字进行开始，每一次进行一趟基数排序然后收集，当所有的关键字全部都匹配完全之后，我们得到的就是有序的序列

这里的限制的终止情况是，我们必须要对所有的关键字全部都进行匹配，但是一旦在出现数字（待排对象）之间的位数差距比较大的情况，我们有可能做大量的无用功

2.MSD（最高位优先）

这里的MSD法参透了一些递归的思想，在这里，我们首先从高位开始匹配，每一次入桶之后，我们对每一个桶的序列也分别进行一次MSD递归调用，直到最后最后我们发现每个子桶中的元素的个数都只是<=1的情况的话，很明显，这时候我们就该强行终止了递归调用，返回我们的有序序列

MSD对于上述的位数差距比较大的情况来看的话，可以大幅度减少我们的排序次数

5.复杂度的优化想法思路

1.参照网上的大神的描述，在整数排序的额时候，我们可以将基数设置的大一些

2.在对证书进行基数排序的时候，那面会出现pow函数的调用，这时候我们的时间耗费就会出现一些提升，在这里，我们的优化思路是采用位运算的想法，将基数设定成2的幂，那么我们在进行反馈映射的过程的时候，利用位运算可以大幅度降低我们pow函数和我们的触发造成的恐怖的时间耗费，毕竟计算机还是一个二进制机器

3.如果我们只是单纯地对数组进行基数排序的话

我们的时间耗费大致是O(d*(3*n+radix)),空间耗费是n+radix

但是如果我们在这里利用链表的话

时间复杂度大致是O(d*(n+radix)),空间耗费是radix

为什么呢

ps：以下的思路是LSD

1.数组法

我们的工具：bucket桶数组，count记录每个桶的数目

我们先来看简单的数组的操作过程

1.初始化count

2.扫描一遍数组O(n),将count更新维护

5.扫描一遍count，确定每个桶的右边界，方便我们的插入操作

4.扫描一遍数组O(n),建立映射，数组元素入桶

5.将bucket中的元素返还（倒进）原数组中，O(n)

以上是一趟桶式排序，对于我们的数字的范围d（如果用十进制的例子来看的话，那就是d是位数）

2.链式基数排序（在这里，我们用链表还是静态量表的实现原理都是一样的，我们这里随便举个例子，用静态链表来描述好了）

我们的工具radix个<head,tail>链队列的头尾指针O(2*radix)的空间复杂度

1.扫描一遍，根据映射我们将链的节点插入相应的链队列O(n)

2.遍历所有的radix链队列，将链队列的头尾指针相互串接，构成新的链O(radix)

3.重复d次

时间复杂度是O(d*(n+radix)),空间复杂度是O(2*radix+n),n是链节点的指针域

通过上述比较，我们来看一下

 空间复杂度时间复杂度数组法O(n+ra)O(d*(3*n+ra))链表法O(n+2*ra)O(d*(n+ra))显然从上述表格来看，我们的链式的结构更具有优越性

当然，我所有的情况都会用代码示例一遍

6.优缺点限制以及特殊情况的处理

优点：排序稳定性：

无论是从上面的链式还是数组的方式，我们都可以清楚地的看到，通过特殊的处理（链队列，数组count的利用）都是的我们的基数排序是稳定的

1.从上面的情况，我们已经看到了，桶式排序不能处理负数，不能处理浮点数，也不能处理字符串

但是对于基数排序，并不是这样的

负数的话，我们可以将负数和整数进行分类考虑最后将结果合并就好

浮点数的话，我们可以将浮点数承上一个较大的整数将其装花城整数来进行操作

字符串的话，我们将字符串的每个字符都当成是一个关键字，从而更加方便的实现基数排序

优点：基数排序不是交换式的，而是分配式的排序，所以说，我们的时间复杂度可以轻而易举的达到线性阶

缺点：基数排序的内存占用和归并排序一样，非常的大，在我们的内存吃紧的情况下，基数排序不要进行考虑，但是对于我们的内存宽松，时间要求搞笑的时候，基数排序旺旺可以达到比快排更好的效果

基数排序的LSD进行之前，我们必须要了解到所有的数组的最大的上限

7.相应的核心代码段

附上我的CSDN snippts连接：

基数排序相关代码段