求最长回文子串的四种算法

问题描述：

输入一个字符串求出其中最长的回文子串，在判断时，应该忽略大小写，但输出应该保持原样。输入字符不超过5000，输出回文长度和回文字符串。

样例输入：Confuciuss say : Madam,I'm Adam

样例输出：Madam,I'm Adam

主要给出四种算法解答，1：循环比较，2：扩展比较，3、动态规划，4、Manacher算法

为了介绍Manacher算法，我们规定，直接输入由小写字母组成的串来处理。本质上是一样的。

1、循环比较

# include <stdio.h># include <string.h># include <ctype.h> //最长回文子串 # define MAXN 5000 + 10char buf[MAXN],s[MAXN]; //buf存原字符串，s存过滤掉非字母字符的字符串int p[MAXN];  //记录字母在原串中的位置，待找到回文串后输出。 //暴力法 int main(){int n,m=0,max=0; //max存回文长度int i,j,k;int x,y;   //记录回文串的上下标 fgets(buf,sizeof(s),stdin); //推荐使用fgets输入n=strlen(buf);//将所有的字母符号都转变成大写，便于比较 for(i=0;i<n;i++){if(isalpha(buf[i])){p[m]=i; s[m++] = toupper(buf[i]);} }//利用除去其他字符的数组s判断回文for(i=0;i<m;i++){for(j=i;j<m;j++){int ok=1; //默认i <-> j是回文//判断从i到j是否为回文 for(k=i;k<=j;k++){//找对称节点的公式，i+j等价于中心节点的2倍，对称轴公式，a点关于b点的对称节点，2*b-aif(s[k] != s[i+j-k])ok=0; } //如果是回文更新max的值，max保存最长的回文串 if(ok==1 && j-i+1 > max){x=p[i];y=p[j];max= j - i + 1;}}} printf("max = %d\n",max);for(int t=x;t<=wegwaegy;t++){printf("%c",buf[t]);}printf("\n");return 0;}

2、扩展比较

# include <stdio.h># include <string.h># include <ctype.h> //最长回文子串 # define MAXN 5000 + 10char buf[MAXN],s[MAXN];int p[MAXN];  //记录字母在原串中的位置，待找到回文串后输出。 //中心扩展法 int main(){int n,m=0,max=0;int i,j,k;int x,y;   //记录回文串的上下标 fgets(buf,sizeof(s),stdin);n=strlen(buf);//将所有的字母符号都转变成大写，便于比较 for(i=0;i<n;i++){if(isalpha(buf[i])){p[m]=i; s[m++] = toupper(buf[i]);} }for(i=0;i<m;i++){//判断以i节点为中心的串是不是回文串 //奇数回文判断 aba for(j = 0; i-j >= 0 && i+j<m; j++){if(s[i-j] != s[i+j])//以i为节点分别向两遍扩展j个单位。什么时候结束判断？就是for循环给出的条件。 break;if(j*2+1 > max){max=2*j+1;x=p[i-j];y=p[i+j];} }//偶数回文判断abba for(j=0;i-j>=0 && i+j+1<m;j++){//以i和i+1为中心，向两边扩展。 if(s[i-j] != s[i+1 + j])break;if(j*2+2 > max){//更新max max=j*2+2;x=p[i-j];y=p[i+j+1];}}} printf("max = %d\n",max);for(int t=x;t<=y;t++){printf("%c",buf[t]);}printf("\n");return 0;}

3、动态规划

# include <stdio.h># include <string.h># include <ctype.h> //最长回文子串 # define MAXN 5000 + 10char buf[MAXN],s[MAXN];int p[MAXN];  //记录字母在原串中的位置，待找到回文串后输出。 int dp[MAXN][MAXN]; //保存 i <-> j 是否为回文串。 //动态规划法 /*使用dp[i][j]的值表示i到j的串是否为回文串，值为1表示是，值为0表示不是。基本思想是，当我要计算i到j的串是否是回文串时，依赖于两个条件： 1) s[i]与s[j]是否相等.2) dp[i+1][j-1]是否是回文。 初始条件：dp[i][i]=1;   //长度为1的串是确定为回文的。 dp[i][i+1];   //长度为2的串可用一层循环来判断。 状态转移方程：        dp[i][j] = 1;                   if(j-i == 0)  串长为1     dp[i][j] = (s[i]==s[j])            if(j-i == 1)  串长为2dp[i][j] = (s[i]==s[j] && dp[i+1][j-1]) if(j-i >= 2)  串长大于等于3 */int main(){int n,m=0,max=0;int i,j,k;int x,y;   //记录回文串的上下标 fgets(buf,sizeof(s),stdin);n=strlen(buf);//将所有的字母符号都转变成大写，便于比较 for(i=0;i<n;i++){if(isalpha(buf[i])){ p[m]=i; s[m++] = toupper(buf[i]);} }memset(dp,0,sizeof(dp));//初始化i到i是回文串 for(int i=0;i<m;i++){dp[i][i] = 1;x=p[i]; y=p[i]; } //初始化i到i+1是否为回文串 for(int i=0;i<m-1;i++){if(s[i] == s[i+1]){dp[i][i+1]=1;max=2;x=p[i];   //记录在原串中的下标。y=p[i+1]; }} //前面长度为1和长度为2的串都判断完毕，现在从长度为3开始。 for(int len=3;len<=m;len++){//从串的首端开始判断，每次len个长度，往后移动。 for(int i=0; i<m-len+1; i++){int j=i+len-1;if(s[i] == s[j] && dp[i+1][j-1] == 1){dp[i][j]=1;max=len;x=p[i];y=p[j];}}} printf("max = %d\n",max);for(int t=x;t<=y;t++){printf("%c",buf[t]);}printf("\n");return 0;}

4、Manacher算法

简介：Manacher算法，俗称马拉车算法。这个算法的基本思想是，后面字符回文的判断可以利用前面的结果。为了介绍Manacher算法本质，我们只求回文长度，回文串的输出稍加修改即可。

1）算法首先有一个预处理，在字符串中间加入字符#或者其他，这样可以将偶数字符串和奇数字符串都转换成奇数串，统一操作。另外也可以在字符串前面加上@符号，这样下标变成1 - n-1，避免不必要的麻烦。

2）算法利用P[]数组记录字符串中每个字符的回文半径，例如下面的字符串串回文长度，

S     #   a  #  b  #   b  #  a   #  b  #  c  #   b   #  a  #
P     1   2  1  2  5   2  1  4   1  2  1  6   1  2   1  2  1

3）因此算法的关键就是求P数组。

基本思想就是，前面的P值已经求出来了，后面要求的P值就可以利用前面已经计算出来的结果。而这个利用是有一定条件的，比如上图，下标等于11的字符它的回文半径很长，左边[2-10],右边[12-20],这两个区间的字符串对应相等。那么在求i=[12 - 19]的回文半径时候我们可否利用一下区间[2 - 10]的结果，因为他们的回文半径早已经求出来了，比方说在求i=13字符b的回文半径时，和i=9时的回文半径是相同的，所以等于1。那是不是就可以一直这么算下去，算到i=19？其实不然，当i=15时，对称的i=7就是图中的 i' ,它的回文半径为7.这个值超出了[2....11]的范围，也即超出了[11....20]的范围。当没超出范围时，因为对称可以直接赋值，现在超出了，就说明在R右侧的部分还没有比较，并不知道是不是回文。那只能老老实实比较了，这里不用从i=15开始分别向两边比较，因为以i=15为中心的字符串已经有一部分是对称的了，因为i'的回文半径为7，而你这里R-i = 20-15=5，所以分别从i=20开始向右，i=15-(20-15) 向左比较就可以了。因此这里的 R-i 和P[i']的值决定了不同的情况。

要保存这个R值，并不断更新对应代码 if(i + p[i] > R )，它是已求的所有P[i]值中，最右的边界，并不一定是P[i]值最大就是最右边界。初始值为1，代表第一个字符的回文半径为1，默认为最长的回文半径。

从前往后遍历，依次求每个字符的回文值，看R和i的关系来确定从何处开始匹配，也就是给P[i]一个初始值，如果i在R右边时，只能重新匹配，没有信息可以利用，p[i]=1; 如果在左侧，还要看i对应i' 的P[i']的值，R-i和P[i']取较小值。对应min(R-i,p[i_mirror])。

# include <stdio.h># include <string.h># include <math.h># include <algorithm>  using namespace std;const int MAX=1000000;int len,p[2*MAX];char str[MAX],newstr[2*MAX];/*Manacher算法求最长回文子串 */int main(){int i,j,k,t,n,ans = 0,temp =1;while(scanf("%s",&str)){if(strcmp(str,"END") == 0) break;//预处理字符串 n=strlen(str);j=0;newstr[j++]='@';for(i=0;i<n;i++){newstr[j++]='#';newstr[j++]=str[i];}newstr[j++]='#';newstr[j]='\0';n=j;//算法开始 ans = 0;int R=1,id=1;for(i=1;i<n;i++){int i_mirror = 2*id-i; //equals to i' = id-(i-id)p[i] = (R>i) ? min(R-i,p[i_mirror]) : 1;//往两边扩展比较 while(newstr[i+p[i]] == newstr[i-p[i]]){p[i]++;} if(i+p[i] > R){id=i;R=i+p[i];}}//输出 int maxlen = 0;for(i=0;i<n;i++){if(p[i]>maxlen)maxlen=p[i];printf("%d ",p[i]);}printf("Case %d: %d\n",temp++,maxlen-1);}}

参考文章：http://blog.csdn.net/zhangjun03402/article/details/50514722