方差公式中分子为什么是n-1的证明

方差的无偏估计中分子为什么是n-1的证明

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刚接触方差公式，大家肯定会感觉到疑问，为什么公式的分子上是n−1而不是n呢。当分子为n−1的时候称为样本关于总体的无偏估计，分子为n的称为有偏估计，原因是我们希望通过样本的方差S2来估计总体的方差，所以问题就出现在这里，样本的方差≠方差。

已知：
样本均值 X¯¯¯
样本方差 S2
总体均值 μ
总体方差 σ2

在计算样本方差的时候，我们通常按下面的公式计算

S2=1n∑i=1n(Xi−X¯¯¯)2

上式仅仅是样本的方差，我们往往希望估计总体的方差，这个时候就要对上式进行处理：

E(S2)        =E(1n∑i=1n(Xi−X¯¯¯)2)=1nE(∑i=1n((Xi−μ)+(μ−X¯¯¯))2)=1nE(∑i=1n((Xi−μ)2+(μ−X¯¯¯)2+2(Xi−μ)(μ−X¯¯¯)))=1nE((∑i=1n(Xi−μ)2+∑i=1n(μ−X¯¯¯)2+2∑i=1n(Xi−μ)(μ−X¯¯¯)))=1nE((∑i=1n(Xi−μ)2+n(μ−X¯¯¯)2+2n(X¯¯¯−μ)(μ−X¯¯¯)))=1nE((∑i=1n(Xi−μ)2+n(μ−X¯¯¯)2−2n(μ−X¯¯¯)(μ−X¯¯¯)))=1nE((∑i=1n(Xi−μ)2−n(μ−X¯¯¯)2))=1n(∑i=1nE((Xi−μ)2)−nE((μ−X¯¯¯)2))=1n(∑i=1nVar(Xi)−nVar(X¯¯¯))

在上式中

Var(Xi)=σ2 Var(X¯¯¯)    =Var(∑i=1nXi)=Var(1n∑i=1nXi)=1n2Var(∑i=1nXi)=1n2∑i=1nVar(Xi)=1nσ2

方差公式可以写作：

E(S2) =σ2−1nσ2=n−1nσ2

可以看出样本的方差并不等于希望估计的方差，那么对上式进行修正，乘以nn−1，即：

S21 =nn−1S2=1n−1∑i=1n(Xi−X¯¯¯)2

即：

E(S21)=σ2