算法总结之欧拉回路

欧拉回路的作用:

在一张有向或无向图中求出一笔画问题的具体画法。

模板题：http://uoj.ac/problem/117

算法：

首先我们考虑如何判定这个图是否为欧拉回路

这时候我们对于有向图和无向图有不同的判定方法。

对于有向图，保证每个点的入度等于出度。

对于无向图，保证每个点的度数为偶数。

通常我们判断图是否联通，是在求欧拉回路（见下文）的过程中记录用到的边的数量，看是否与给定的边相等，若相等则联通。

因为如果通过深搜判断点的数量，可能题意描述点有n个，实际上一些点为单点，欧拉回路求的是道路，单点不影响。会出现误判。

然后我满考虑如何求出确切的欧拉回路。

我们可以用一个dfs来解决问题。

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void yxdfs(int x,int beg)

{

    int ytp = head[x];

    head[x] = nxt[ytp];

    outd[x]--;

    ind[to[ytp]]--;

    jlb++;

    if (to[ytp] != beg) 

        yxdfs(to[ytp],beg);

    dl.push_back(ytp);

    if (head[x])

        yxdfs(x,x);

}

这是有向图的dfs，我们来分析一下。

参数x，表示当前搜到的点，beg表示这次搜索的起点。

我们删掉当前点的第一条边，如果删掉的这条边的指向不为搜索起点，那我们就不改变起点继续想下搜。并且搜回来记录我走的是那条边。如果说发现这条边还可以走出其他边，显然我们可以理解为从已经搜出的一张一笔画上，再从这点出发，再添加上一个一笔画，就像我们开始搜出了一条直线，后来在回溯的过程中，我们发现，有一个还有多余的边，那么从这点继续进行一笔画，并将其加入答案数组中，构成完整的一笔画。

同理无向图的dfs，删边稍微麻烦了一些，需要删除反向边，其余都一样。

最后我们获得了一个答案数组，我们应该如何将这个数组输出。

我们先考虑有向图，我们最早搜的点，是最后放入答案数组的，如果我们反向输出答案数组，那么显然边的指向是反的。所以我们要正想输出答案数组。

我们再考虑无向图。显然无论正反输出，对于边没有影响，虽然如此，我们的输出仍应该与样例保持一致，增加程序鲁棒性。

AC代码：

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#include <cstdio>

#include <cmath>

#include <algorithm>

#include <cstring>

#include <vector>

using namespace std;

int n,m,t,tp1,tp2,sum,js,jlb;

int head[200000],nxt[500000],to[500000],ind[200000];

int tod[200000],fx[500000],outd[200000];

bool vis[20000];

vector <int> dl;

void cr(int x,int y)

{

    sum++;

    nxt[sum] = head[x];

    head[x] = sum;

    to[sum] = y;

}

bool pd1()

{

    for (int i = 1; i <= n; i++)

    {

        if (ind[i] & 1) return false;

    }

    return true;

}

void del(int x,int y)

{

    if (to[head[x]] == y)

    {

        head[x] = nxt[head[x]];

        return;

    }

    for (int i = head[x]; i; i = nxt[i])

    {

        if (to[nxt[i]] == y)

        {

            nxt[i] = nxt[nxt[i]];

            return;

        }

    }

}

void wxdfs(int x,int beg)

{

    int wtp = head[x];

    head[x] = nxt[wtp];

    del(to[wtp],x);

    ind[x]--;

    jlb++;

    ind[to[wtp]]--;

    if (to[wtp] != beg && to[wtp])

        wxdfs(to[wtp],beg);

    if (wtp) dl.push_back(wtp);

    if (head[x]) wxdfs(x,x);

}

void work1()

{

    for (int i = 1; i <= n; i++)

    {

        if (ind[i]) 

        {

            wxdfs(i,i);

            break;

        }

    }

}

void print1()

{

    for (int i = 0; i < dl.size(); i++)

    {

        int tan = 0;

        tan = (dl[i] + 1) / 2;

        if (dl[i] & 1) tan *= -1;

        printf("%d ",tan);

    }

}

void read1()

{

    scanf("%d%d",&n,&m);

    for (int i = 1; i <= m; i++)

    {

        scanf("%d%d",&tp1,&tp2);

        cr(tp1,tp2);

        cr(tp2,tp1);

        ind[tp1]++;

        ind[tp2]++;

    }

    if (!pd1())

    {

        printf("NO\n");

        return;

    }

    else

    {

        work1();

        if (jlb < m) printf("NO\n");else

        {

            printf("YES\n");

            print1();

        }

    }

}

bool pd2()

{

    for (int i = 1;i <= n;i++)

    {

        if (ind[i] != outd[i]) return false;

    }

    return true;

}

void print2()

{

    for (int i = dl.size() - 1;i >= 0;i--)

        printf("%d ",dl[i]);

}

void yxdfs(int x,int beg)

{

    int ytp = head[x];

    head[x] = nxt[ytp];

    outd[x]--;

    ind[to[ytp]]--;

    jlb++;

    if (to[ytp] != beg) 

        yxdfs(to[ytp],beg);

    dl.push_back(ytp);

    if (head[x])

        yxdfs(x,x);

}

void work2()

{

    for (int i = 1;i <= n;i++)

    {

        if (outd[i]) 

        {

            yxdfs(i,i);

            break;

        }  

    }

}

void read2()

{

    scanf("%d%d",&n,&m);

    for (int i = 1;i <= m;i++)

    {

        scanf("%d%d",&tp1,&tp2);

        cr(tp1,tp2);

        ind[tp2]++;

        outd[tp1]++;

    }

    if (!pd2())

    {

        printf("NO\n");

    }else

    {

        work2();

        if (jlb < m) 

        {

            printf("NO\n");

            return;

        }else

        {

            printf("YES\n");

            print2();

        }

    }

}

void sread()

{

    scanf("%d",&t);

    if (t == 1) read1();

    else

        read2();

}

int main()

{

    sread();

    return 0;

}