N皇后问题

N皇后问题

回溯法（探索与回溯法）是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

基本思想

在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。 若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。 而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束

1.问题描述

n皇后问题是递归和回溯法的一个典型应用。问题描述如下：对于一个n×n的棋盘，要求在其中放入互不攻击的n个皇后。
皇后的攻击范围包括：
1) 同一行
2) 同一列
3) 同一对角线（包括两个方向）

2.算法设计

问题的解可表示为x[1:n]， 表示皇后i放在棋盘的第i行的第x[i]列。
a)x[i]≠x[j] ,i≠j：不允许将任何两个皇后放在同一列上；
b)|j-i|≠|x[j]-x[i]|: 不允许两个皇后位于同一条斜线上。

3.算法步骤

取K为行的编号，数组X[K]为列的编号，先令K=1，X[K]=1，然后取K=K+1，对棋盘的下一行进行检测，找到合法的位置，依次检测，直到K=N 时，输出皇后的所在的列的位置；若过程中遇到在某一行K 无合法位置，则取K=K-1，回溯到上一行，同时令X[K]=X[K]+1，再对下一行的位置进行检测，看是否有合法皇后位置，依次得到所有的结果。

程序代码如下：

#include <stdio.h> #include <math.h> typedef int bool; #define true  1; #define false  0; //检测皇后是否合法bool place(int k, int *X) {    int i;         i=1;    while(i<k){      if((X[i]==X[k])||(abs(X[i]-X[k])==abs(i-k)))       return false;                                        i++;        }       return true; } void  Nqueens(int n,int *X) {    int k;   X[1]=1;     k=1;//k表示棋盘的列，用X[k]表示当前列的行的编号while(k>0){             int i;     X[k]=X[k]+1; //不断的在解空间里从小到大的试探while((X[k]<=n)&&(!place(k, X)))     X[k]=X[k]+1; //不符合条件的马上再取解空间的下一个值来试探。    if(X[k]<=n)   //找到了一个位置，而且是合法的      if(k==n) {  //是不是最后一个皇后，若是则得出一个完整解     for( i=1;i<=n;i++)            printf("%d",X[i]);             printf("\n");                   }       else  {//若不是最后一个皇后，则给下一个皇后找位置      k=k+1;      X[k]=0;          }   else     k=k-1; //若是找了全部的列都无法放置某个皇后，则回溯到上一个k的情况         } } void main() {         int n;         int X[100];         printf("请输入皇后的个数:");         scanf("%d",&n);         printf("问题的解有:");       Nqueens(n,X); }