最小堆第k小的元素与给定x的大小关系(编程题）

1.最小堆第k小的元素与给定x的大小关系：kth>=x是否成立


对一个数组实现的n个元素的最小堆和给定的实数x，判断堆中第k小元素是否大于等于x？（0<k<n）要求算法最坏时间复杂度为O(k)。（提示：没必要找出第k小元素的具体值）


解答：


　　最直接的两种解法：从堆中选取最小元素k次，时间复杂度O(klogn)；检查堆中前k层所有元素，时间复杂度O(n,2^k)。这两种解法都不符合时间复杂度的要求。


　　实际上是从根开始遍历所有值小于x的结点：

//第一次调用时，i=1,count=kint heap_compare(heap *h,int i,int count,int x){    if((count<=0)||(i>h->size))        return count;    if(h->h[i]<x) {        count = heap_compare(h,LEFT(i),count-1,x);        count = heap_compare(h,RIGHT(i),count,x);    }    return count;}

　　如果根大于等于x，那么其余所有元素都不可能小于x，第k小的元素必然大于等于x。这时返回值为k>0。（若k=1，那么第1小的元素就是根，结果不变）


　　如果根小于x，需要对根的两个后继进行遍历。如果你没有看明白这段程序的含义，下面以几个例子来帮助理解这个函数在递归调用时发生了什么。假定k=3，x=3，即判断第3小的元素是否大于等于3。简单起见，结点以下标代替，根为1（与原书一致）。


　　实例1：第k小的元素大于等于x。






　　实例2：第k小的元素大于等于x。原图交换顺序。






　　实例3：第k小的元素小于x。






 


　　从上面三个例子可以看出：


　　每找到一个小于x的元素都会消耗一个count，如果消耗完了k个，表示至少前k个都小于x。那么第k个必然小于x，后面不必再进行查找，返回值为0。


　　反之，如果遍历所有小于k的元素时未消耗完k个count，表示小于x的元素不足k个，那么第k个必然大于等于x，返回值为正值。


　　原代码中令人迷惑的地方在于count的使用，理清上面的两个关系就好理解了。虽然看上去这个函数对于一个结点的两个后继的处理地位不同，但实际上没有影响。


　　至于时间复杂度，由于我们只遍历了所有小于x的结点以及它们的后继，而且遍历时不超过k个（用完k个就return 0），因此大约是3k个结点，时间复杂度只有O(k)，符合要求。