UVA 10375 Choose and divide （唯一分解定理）

题面：

Choose and divide
The binomial coefficient C(m; n) is defined as C(m; n) =m!/(m -n)! n! Given four natural numbers p, q, r, and s, compute the the result of dividing C(p; q) by C(r; s).

Input
Input consists of a sequence of lines. Each line contains four non-negative integer numbers giving values for p, q, r, and s, respectively, separated by a single space. All the numbers will be smaller than 10,000 with p  q and r  s.

Output
For each line of input, print a single line containing a real number with 5 digits of precision in the fraction, giving the number as described above. You may assume the result is not greater than 100,000,000.

Sample Input
10 5 14 9
93 45 84 59
145 95 143 92
995 487 996 488
2000 1000 1999 999
9998 4999 9996 4998

Sample Output
0.12587
505606.46055
1.28223
0.48996
2.00000
3.99960

题意：

       设C(m,n) = m! / ((m - n)! * n!)，输入正整数p、q、r、s，输出C(p,q)/C(r,s)。

解题：

       因为结果为小数，看着好像可以直接算，但是直接算会有两个问题。一，会爆数据范围，二，一边乘一边除会造成严重的精度丢失。

定理：

     【 唯一分解定理 】

   任何一个大于1的自然数N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P₁^a1P₂^a2P₃^a3......P_n^an，这里P_1<P_2<P_3......<P_n均为质数，其中指数a_i是正整数。这样的分解称为N的标准分解式。

结合以上定理，我们可以开一个数组，记录每个因子的个数，乘的加，除的减。并且在原式上可以做一点点优化，可以转换为(q+1)*(q+2)*.......(p-1)*p*(r-s)!/((p-q)!*(s+1)*(s+2)*......(r-1)*r)。因为，分解占用比较多时间，但对于非素数，分解还是比较快的，用时880ms。

代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;int num[100010];void cal(int x,bool flag){int ix=2;if(flag){while(x>1){while(x%ix==0){num[ix]++;x/=ix;}ix++;}}else{while(x>1&&x>=ix){while(x%ix==0){num[ix]--;x/=ix;}ix++;}}}int main(){int p,q,r,s;double ans;while(~scanf("%d%d%d%d",&p,&q,&r,&s)){ans=1.0;memset(num,0,sizeof(num));        for(int i=q+1;i<=p;i++)cal(i,1);for(int i=1;i<=(p-q);i++)cal(i,0);for(int i=1;i<=(r-s);i++)cal(i,1);for(int i=s+1;i<=r;i++)cal(i,0);for(int i=1;i<=100000;i++){if(num[i]>0)               ans*=pow(1.0*i,num[i]);else   ans/=pow(1.0*i,-num[i]);}printf("%.5lf\n",ans);}return 0;}

优化：

    因为数据范围只到100000，我们可以预先判断是不是素数，是素数就不必进行分解了。优化之后，840ms(好弱的优化)。

代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;int num[100010];bool is_prime[100010];void init(){memset(is_prime,-1,sizeof(is_prime));for(int i=2;i<=100000;i++)if(is_prime[i])for(int j=2*i;j<=100000;j+=i)is_prime[j]=0;}void cal(int x,int flag){int ix=2;while(x>1){while(x%ix==0){num[ix]+=flag;x/=ix;}ix++;}}int main(){int p,q,r,s;double ans;while(~scanf("%d%d%d%d",&p,&q,&r,&s)){ans=1.0;memset(num,0,sizeof(num));        for(int i=q+1;i<=p;i++)if(is_prime[i])num[i]++;else  cal(i,1);for(int i=1;i<=(p-q);i++)if(is_prime[i])num[i]--;    else    cal(i,-1);for(int i=1;i<=(r-s);i++)if(is_prime[i])num[i]++;   else      cal(i,1);for(int i=s+1;i<=r;i++)if(is_prime[i])num[i]--;    else   cal(i,-1);for(int i=1;i<=100000;i++){if(num[i]>0)               ans*=pow(1.0*i,num[i]);else   ans/=pow(1.0*i,-num[i]);}printf("%.5lf\n",ans);}return 0;}