迪杰斯特拉算法详解
来源:互联网 发布:淘宝不能发布虚拟物品 编辑:程序博客网 时间:2024/05/09 20:23
1、迪杰斯特拉算法介绍
迪杰斯特拉算法是典型最短路径算法,用于计算图或网中某个特定顶点到其他所有顶点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外,层层扩展,直到扩展覆盖所有顶点。
2、迪杰斯特拉算法思想
设G=(V,E)为一个带全有向图,把图中顶点集合V分成两组。第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将所到达最短路径的顶点加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中)。第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示,U=V-S,U中的顶点不断的加入到S中,直到U为空,S=V)。在U加入S的过程中,始终保持源点到S中各顶点的最短路径长度小于或等于源点到U中任意顶点的最短路径长度。
3、迪杰斯特拉算法执行步骤
设 n 为图 G=(V,E) 中的顶点数,dist[n] 存放从源点到每个终点当前最短路径的长度,path[n] 存放相应路径,S 为已求得最短路径的终点的集合,U为V-S,初始为不含有源点的所有顶点。
(1)初始化已求的最短路径的集合S为只含有元素源点a,S={a}。
(2)从U中选取一个距离源点v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。
(3)以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u(u U)的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值为顶点k的距离加上顶点k到u边上的权。
(4)重复步骤(2)和(3)直到所有顶点都包含在S中。
4、迪杰斯特拉算法举例说明
(1)有向图如下,以a为源点,求源点a到其他各顶点的最短路径。
步骤
S集合中
U集合中
初始化
选入a,此时s={a}
此时最短路径有a->a=0
以a为中间点,从a开始找
U={b,c,d,e,f}
a->b=1
a->c=2
a->e=15
a->其他U中顶点为无穷
1
从U={b,c,d,e,f}中发现路径a->b=1最短
选入b,S={a,b}
此时最短路径有a->a=0,a->b=1
以b为中间点,从a->b=1这条最短路径开始找
U={c,d,e,f}
(a->b->d=7)<初始的无穷
改写a->b->d=无穷为当前的a->b->d=7
a-> b->其他U中顶点为无穷
2
从U={c,d,e,f}中发现路径a->c=2最短
选入c,S={a,b,c}
此时最短路径有
a->a=0,a->b=1,a->c=2
以b为中间点,从a->c=2这条最短路径开始找
U={d,e,f}
(a->c->d=5)<已有的7
改写为a->c->d=5
3
从U={d,e,f}中发现路径a->c->d=5最短
选入d,S={a,b,c,d}
此时最短路径有
a->a=0,a->b=1,a->c=2,a->c->d=5
以d为中间点,从a->c->d=5这条最短路径开始找
U={e,f}
(a->c->d->e=9)<步骤1中的15
改写为a->c->d->e=9
(a->c->d->f=6)<初始的无穷
改写为a->c->d->f=6
4
从U={e,f}中发现路径a->c->d->f=6最短
选入f,S={a,b,c,d,f}
此时最短路径有
a->a=0,a->b=1,a->c=2,a->c->d=5
a->c->d->f=6
以f为中间点,从a->c->d->f=6这条最短路径开始找
U={e}
(a->c->d->f->e=7)<步骤3中改写成的9
改写为a->c->d->f->e=7
5
从U={f}中发现路径a->c->d->f->e=7最短
选入f,S={a,b,c,d,f,e}
此时最短路径有
a->a=0,a->b=1,a->c=2,a->c->d=5
a->c->d->f=6,a->c->d->f->e=7
U集合已空,查找完毕。
迪杰斯特拉算法是典型最短路径算法,用于计算图或网中某个特定顶点到其他所有顶点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外,层层扩展,直到扩展覆盖所有顶点。
2、迪杰斯特拉算法思想
设G=(V,E)为一个带全有向图,把图中顶点集合V分成两组。第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将所到达最短路径的顶点加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中)。第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示,U=V-S,U中的顶点不断的加入到S中,直到U为空,S=V)。在U加入S的过程中,始终保持源点到S中各顶点的最短路径长度小于或等于源点到U中任意顶点的最短路径长度。
3、迪杰斯特拉算法执行步骤
设 n 为图 G=(V,E) 中的顶点数,dist[n] 存放从源点到每个终点当前最短路径的长度,path[n] 存放相应路径,S 为已求得最短路径的终点的集合,U为V-S,初始为不含有源点的所有顶点。
(1)初始化已求的最短路径的集合S为只含有元素源点a,S={a}。
(2)从U中选取一个距离源点v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。
(3)以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u(u U)的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值为顶点k的距离加上顶点k到u边上的权。
(4)重复步骤(2)和(3)直到所有顶点都包含在S中。
4、迪杰斯特拉算法举例说明
(1)有向图如下,以a为源点,求源点a到其他各顶点的最短路径。
(2)算法详细步骤如下表:
步骤
S集合中
U集合中
初始化
选入a,此时s={a}
此时最短路径有a->a=0
以a为中间点,从a开始找
U={b,c,d,e,f}
a->b=1
a->c=2
a->e=15
a->其他U中顶点为无穷
1
从U={b,c,d,e,f}中发现路径a->b=1最短
选入b,S={a,b}
此时最短路径有a->a=0,a->b=1
以b为中间点,从a->b=1这条最短路径开始找
U={c,d,e,f}
(a->b->d=7)<初始的无穷
改写a->b->d=无穷为当前的a->b->d=7
a-> b->其他U中顶点为无穷
2
从U={c,d,e,f}中发现路径a->c=2最短
选入c,S={a,b,c}
此时最短路径有
a->a=0,a->b=1,a->c=2
以b为中间点,从a->c=2这条最短路径开始找
U={d,e,f}
(a->c->d=5)<已有的7
改写为a->c->d=5
3
从U={d,e,f}中发现路径a->c->d=5最短
选入d,S={a,b,c,d}
此时最短路径有
a->a=0,a->b=1,a->c=2,a->c->d=5
以d为中间点,从a->c->d=5这条最短路径开始找
U={e,f}
(a->c->d->e=9)<步骤1中的15
改写为a->c->d->e=9
(a->c->d->f=6)<初始的无穷
改写为a->c->d->f=6
4
从U={e,f}中发现路径a->c->d->f=6最短
选入f,S={a,b,c,d,f}
此时最短路径有
a->a=0,a->b=1,a->c=2,a->c->d=5
a->c->d->f=6
以f为中间点,从a->c->d->f=6这条最短路径开始找
U={e}
(a->c->d->f->e=7)<步骤3中改写成的9
改写为a->c->d->f->e=7
5
从U={f}中发现路径a->c->d->f->e=7最短
选入f,S={a,b,c,d,f,e}
此时最短路径有
a->a=0,a->b=1,a->c=2,a->c->d=5
a->c->d->f=6,a->c->d->f->e=7
U集合已空,查找完毕。
例如,对下图中的有向图,应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。
Dijkstra算法的迭代过程:
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