八皇后问题优雅解法——位运算

古老的八皇后问题估计大家都不陌生。一个8✖️ 8的棋盘，放置八个皇后（Queen），每个皇后会攻击和自己在同一行（列），同一左（右）对角线上的其他皇后。如何放置这8个皇后，才能使得没有任何皇后会互相攻击？
这个问题最传统的解法就是回溯法（back-tracking），然而这里我要讲的是一种更为优雅的解法，那就是使用位运算。

位运算

位运算就是在0,1bit级别进行的操作，这样的操作比数字的加减乘除不知道要快多少倍，因此一些大公司在面试的时候最喜欢问关于位运算的一些智力题。下面先介绍位运算的几个基本操作。

• 按位取反

这个比较简单，就是把二进制表示中的1变为0，0变为1。比如32位系统下，0x0F取反就是0xFFFFFFF0。

~0x0F; // => 0xFFFFFFF0 (bitwise negation)

• 与

  按位与的符号是&，逻辑与的符号是&&，这两者是不同的。
  按位与时，两个1相与得1，其他情况均得0。（有0则0）

0x0F & 0xF0; // => 0x00 (bitwise AND)

• 或

  按位或的符号是|，逻辑或的符号是||，这两者是不同的。
  按位或时，两个0相或得0，其他情况均得1。（有1则1）

0x0F & 0xF0; // => 0xFF (bitwise OR)

• 异或

x和y异或时，若x，y不同（一个是0一个是1）则结果为1，若x，y相同（都是0或者都是1）则结果为0。

0x04 ^ 0x0F; // => 0x0B (bitwise XOR)

• 移位

将数字左移或右移，比如0000 1011左移一位就会变成0001 0110，右移一位就变成了0000 0101。要注意的有两点，第一是，左移一位相当于乘以2，右移一位相当于除以2。第二是移位时空出来的位是用0补充的，因此对于有符号数的移位需要特别小心。

0x01 << 1; // => 0x02 (bitwise left shift (by 1))0x02 >> 1; // => 0x01 (bitwise right shift (by 1))

八皇后问题与位运算

讲了这几个位运算操作，我们接下来看看如何将它们运用到解决八皇后问题中去。
首先，我们的基本思路与传统一样，每一行只能放并且必须放一个皇后。每次放置一个皇后之后，它就会对后面所有行中，可能放置皇后的位置产生影响。如下图所示，我们已经放置了三个皇后Q1，Q2，Q3。 接着在下面一行放置Q4时，用彩色标注出的区域都是不可行的方案，会与已经放置的三个皇后产生冲突。
这个冲突其实有三种不同的情况，我们用三个变量A，B，C分别来表示这三种不同的冲突。这三个变量都是一个八位的二进制数，这八位中，为1的表示有冲突，为0表示没有冲突。
1. 与已放置的皇后处于同一列中；
我们用B表示这种冲突。例如在图中，第四行会有三个位置因为列攻击而不能再放置皇后（图中大红色方块），因此A = 1000 1001。
2. 与已放置的皇后处于同一左斜(指向右下方)对角线中；
我们用A表示这种冲突。例如在图中，蓝色方块所表示的位置，分别是由于Q1和Q2的左斜对角线上的攻击而不能够放置新的皇后， 因此B = 0001 0010。
3. 与已放置的皇后处于同一右斜(指向右上方)对角线中。
我们用C表示这种冲突。例如图中粉色方块， 是由Q2的右斜对角线的攻击造成的。因此C = 0010 0000。

有了A，B，C，三个变量，我们很容易求出当前这一行中，有哪些位置是可以放置皇后的。这个变量我们用D来表示，我们可以写出D = ~(A|B|C)。D中为1的那些位置则是我们可以放置皇后的位置。在上图的情况下，D = 0100 0100。此时，我们有两个可能的放置皇后的位置，那么要如何取出第一个位置呢？这里有一个技巧。我们用bit表示可能的一个位置，使用bit = D & (-D)即可取出D中最右边的一个1。例如D = 0100 0100，则-D = 10111100（注意计算机中的数都是补码）。而bit = D & (-D) = 0000 0100 取出了最右边的那个1。最后还有一点，如何递归？递归中传入的参数（也即A，B，C）该如何设定？其实也很简单，特别是对于列冲突变量B来说，只要使用B|bit即可表示下一行列冲突的情况，对于A，采用(A|bit)<<1，对于C，采用(C|bit>>1)即可表示下一行中，对角线冲突的情况。

码了这么多文字，或许还是不够清楚，下面还是直接上代码吧。

#include <stdio.h>int count = 0;void try(unsigned char A, unsigned char B, unsigned char C){    if(B==255){        count ++;        return;    }    unsigned char D = ~(A|B|C);    while(D){        unsigned char bit = D & (-D);        D -= bit;        try((A|bit)<<1, B|bit, (C|bit)>>1);    }}int main(){    try(0, 0, 0);    printf("%d\n", count);}