汉诺塔(必须经过中间柱子)递归与非递归详解与代码实现

首先介绍一下汉诺塔最初始的规则：

有三根相邻的柱子，标号为A,B,C，A柱子从上到下按照金字塔状叠放着n个不同大小的圆盘，现在把所有的盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子上方。

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这是最初始的规则，实现的思路可以分为两个步骤：
（假设圆盘期初都在左边的柱子上，想移动到右边的柱子上）
1.如果只有一个圆盘，直接把左边的圆盘移动到右边。
2.如果有n个圆盘（n>1），先把1—n–1圆盘移动到中间的柱子上，最后一个圆盘进行第一个步骤，之后再把1—n-1圆盘从中间移动到右边。
给出一个博文的链接：打开链接，该博主写得简单易懂，十分推荐。

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升级规则：不能将圆盘直接从左边移动到右边，必须经过中间的柱子

递归法：

其实思路与升级前的递归是一样的：
1.当只有一个圆盘时，先从左移到中间，再从中间移动到右边。
2.当有两个圆盘时，先把1(最上面的圆盘)从左边移到中间，再把1移动到右边。把2(1圆盘下面的圆盘)从左边移动到中间，然后把1从右边移动到中间，再把1移动到左边，把2从中间移动到右边，把1从左边移动到中间，再移动到右边。
3.……
总结来说我们要做的有两个步骤：
1、当只要一个圆盘时：
1)如果起点或者终点中有一个为中间柱子，直接把圆盘从起始柱子移动到目标柱子。
2)如果起点和终点都不为中间的柱子，则需要两步，首先把圆盘从起始柱子移动到中间柱子，在从中间柱子移动到目标柱子。
2、当有n(n>1)个圆盘时，需要把1—n-1圆盘从左边移动到右边，再将最底下的圆盘n移动到中间，把1—n-1圆盘从右边移动到左边，把圆盘n从中间移动到右边，1—n-1圆盘从左边移动到右边。
代码:

//hannuota II  递归#include<iostream>#include<vector>#include<string>using namespace std;/*变量含义* n：圆盘数量*left：左柱子*mid：中间柱子*right:右柱子*from：起点柱子*to：目标柱子*/long hannuota(int n,string left,string mid,string right,string from,string to){    if(n == 1)    {        if(from == mid||to == mid)        {            cout<<"将"<<n<<"从"<<from<<"移动到"<<to<<endl;            return 1;        }        else        {            cout<<"将"<<n<<"从"<<from<<"移动到"<<mid<<endl;            cout<<"将"<<n<<"从"<<mid<<"移动到"<<to<<endl;            return 2;        }    }    else    {        long num1 = hannuota(n-1,left,mid,right,from,to);        cout<<"将"<<n<<"从"<<from<<"移动到"<<mid<<endl;        long num2 = hannuota(n-1,left,mid,right,to,from);        cout<<"将"<<n<<"从"<<mid<<"移动到"<<to<<endl;        long num3 = hannuota(n-1,left,mid,right,from,to);        return num1+num2+num3+2;    }}int main(){    int n;    cout<<"盘数:";    cin>>n;    string from = "left";    string depend = "mid";    string to = "right";    if(n>=1)    {        cout<<"步数"<<hannuota(n,from,depend,to,from,to)<<endl;    }    return 0;}

测试：


当然，上述的代码只能实现将n个圆盘从左边全部移到右边，或者右边移到左边，如果起点或者终点为中间圆盘，即会出错。但是实现全部只需要再加一种情况就好了。

(全面考虑)如果起点或者终点中有一个为中间柱子：

只剩一个圆盘时，直接移动到目标柱子，上面的代码已经包含，
不止一个圆盘时，需要把1—n-1圆盘移动到过渡柱子上(既不是起始柱子，也不是终点柱子)，然后把圆盘n从起点移到终点，在把1—n-1从过渡移到终点。
更改 hannuota()函数

long hannuota(int n,string left,string mid,string right,string from,string to){    if(n == 1)    {        if(from == mid||to == mid)        {            cout<<"将"<<n<<"从"<<from<<"移动到"<<to<<endl;            return 1;        }        else        {            cout<<"将"<<n<<"从"<<from<<"移动到"<<mid<<endl;            cout<<"将"<<n<<"从"<<mid<<"移动到"<<to<<endl;            return 2;        }    }    else    {        if(from == mid||to == mid)        {            string depend = (from == left||to == left)?right:left;            long num1 = hannuota(n-1,left,mid,right,from,depend);            cout<<"将"<<n<<"从"<<from<<"移动到"<<to<<endl;            long num2 = hannuota(n-1,left,mid,right,depend,to);            return num1+num2+1;        }        else        {            long num1 = hannuota(n-1,left,mid,right,from,to);            cout<<"将"<<n<<"从"<<from<<"移动到"<<mid<<endl;            long num2 = hannuota(n-1,left,mid,right,to,from);            cout<<"将"<<n<<"从"<<mid<<"移动到"<<to<<endl;            long num3 = hannuota(n-1,left,mid,right,from,to);            return num1+num2+num3+2;        }    }}

至此，递归方法已经说明

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非递归：

借助栈实现，构建3个栈，分别代表3个柱子。整个汉诺塔的步骤其实只有4步，从左移到中间，从中间移到左边，从中间移到右边，从右边移到中间。而且这四步中满足两个条件：
1、相邻不可逆：意思就是我执行了“从中间移到左边”，下一步就不行执行“从左边移到中间”，不然之前的步骤就没有意义了，求出来的也不是最短的步数。
2、 小压大原则：压入的圆盘必须比柱子上最上面的圆盘小，否则不行。

而且每次选择时，可以根据这两个条件，排除4步中其他3步，只有1个满足两个条件，因此就选择那种方法移动。证明：
假设上一步是“从左到中间”，则根据相邻不可逆排除“从中间到左“，而且根据小压大，“从中间到 右”和“从右到中间”只有一个符合，因此下一步是可以根据这两个条件来唯一确定的。

代码实现：

//hanbuota II 非递归#include<iostream>#include<vector>#include<string>#include<stack>using namespace std;enum Action{    NO,LTOM,MTOL,RTOM,MTOR};int fstackTotstack(Action &a,Action preAction,Action nowAction,stack<int>&fstack,stack<int >&tstack,string from,string to){    if(preAction != a&&fstack.size()!=0&&(tstack.size()==0||fstack.top()<tstack.top()))    {        tstack.push(fstack.top());        cout<<"将"<<fstack.top()<<"从"<<from<<"移动到"<<to<<endl;        fstack.pop();        a = nowAction;        return 1;    }    return 0;}int hannuota(int n,string left,string mid,string right){    stack<int>fstack;    stack<int>mstack;    stack<int>tstack;    for(int i = n;i>=1;i--)        fstack.push(i);    int step = 0;    Action a = NO;    while(tstack.size()!=n)    {        step += fstackTotstack(a,MTOL,LTOM,fstack,mstack,left,mid);        step += fstackTotstack(a,LTOM,MTOL,mstack,fstack,mid,left);        step += fstackTotstack(a,RTOM,MTOR,mstack,tstack,mid,right);        step += fstackTotstack(a,MTOR,RTOM,tstack,mstack,right,mid);    }    return step;}int main(){    int n;    string left = "left";    string mid = "mid";    string right = "right";    while(cin>>n)    {        if(n>=1)            cout<<"步数"<<hannuota(n,left,mid,right)<<endl;    }    return 0;}

测试：

注意：当起始圆盘不在左边柱子上时，需要更改四个fstackTotstack（）函数的顺序。