[计算机动画] 路径曲线与运动物体控制（Cardinal样条曲线）
来源：互联网 发布：windows组件向导 编辑：程序博客网 时间：2024/05/29 04:26
在设计矢量图案的时候，我们常常需要用到曲线来表达物体造型，单纯用鼠标轨迹绘制显然是不足的。于是我们希望能够实现这样的方法：通过设计师手工选择控制点，再通过插值得到过控制点（或在附近）的一条平滑曲线。在这样的需求下，样条曲线诞生了。简而言之，样条曲线是由多个多项式按比例系数组成的多项式函数，而比例系数是由控制点决定的。
开发环境
Qt 5.7Hermite曲线
Hermite曲线从一个点到另一个点利用Hermite插值产生一个三次多项式。
如果想要在两点之间得到Hermite曲线，我们还需要给出两个点处曲线的切线斜率。
Hermite曲线是由四个基函数组成的:
h1(u) = 2u^3 – 3u^2 + 1
h2(u)= -2u^3 + 3u^2
h3(u)= u^3 – 2u^2 + u
h4(u)= u^3 - u^2
写成矩阵形式，如下：
当然，我们需要注意到这仅仅是两个点之间的曲线。而对于多个点生成连续曲线的话，我们需要保证第一段曲线的末端和第二段曲线的初端，同时，斜率也要相等。可以看出，指明所有切线是比较麻烦的一件事，毕竟它不是像控制点一样那么直观的东西。
Cardinal曲线
在这个基础上，我们考虑这样一个问题：能不能绕开切线，换句话说，让程序自动生成切线。
为了得到一个点的切线，我们需要利用到这个点前后两个点来辅助构造：
P’i=τ*( Pi+1 - Pi-1 ) (*)
上式中，τ最好在(0,1)之间取值，它的值越大，曲线就越弯曲，反之则越接近直线。
在这样一个想法下，我们把(*)式带入原矩阵，得到了Cardinal曲线的矩阵形式：
在τ = 1/2 时，曲线被称为CatMull曲线。
这样一来，一个曲线实际上是由四个点控制的，那么我们马上就能想到——最边界的点是没有邻居点的，所以为了算法正确运行，我们需要加入虚拟点。简单来说，我们可以直接把首部点复制作为首部虚拟点，尾部复制作为尾部虚拟点。
我们需要明确一点，我们最终得到的实际上是一个分段函数，每两个控制点之间为一段，一共有n + 2 个控制点（含虚拟点），和 n - 1条曲线。我们得到的曲线是参数方程，u是参数，而不是普通的函数表达式。
换言之，我们可以这样认识Cardinal曲线：
X(u,i) = Ax(i) * u^3 + Bx(i) * u^2 + Cx(i) * u + Dx(i)
Y(u,i) = Ay(i) * u^3 + By(i) * u^2 + Cy(i) * u + Dy(i)
构建Cardinal曲线
为了生成Cardinal曲线，我们只需给出控制点，弯曲程度，插值点个数。
1）得到控制点作为输入信息
2）在两端加入虚拟点
3）计算得到基矩阵M（见之前给出的矩阵）
4）计算出每段曲线的A,B,C,D系数（矩阵M中每一行与控制点列向量相乘对应一个系数）
5）根据插值点个数计算出每段曲线中，插值参数u的值，并计算出对应的X，Y值
6）把所有的插值点用直线连接起来
控制小车的速度
为了控制小车的速度，也就是要让小车在特定时间移动到特定的距离。
为了计算距离，我们需要在给定弧长的情况下，得到对应的u值。
我们可以根据参数方程，得到曲线的弧长公式：
其中：
这里的ax,bx,cx,ay,by,cy和Cardinal曲线的系数是对应的。（忽略az,bz,cz，因为我们并没有考虑三维空间）
我们用数值分析的方法解决这个问题，也就是二分法：
简言之，就是先从u在[0,1]中开始，计算u=1/2处弧长，如果实际弧长大于1/2处，则在[1/2,1]中继续计算，否则在[0,1/2]中继续计算。按此递归下去，直到实际结果与预期的误差小于某一精度。
看起来很简单。但是需要考虑两个问题：
1）我们的曲线方程是分段曲线，所以我们首先要计算出每段曲线的长度，然后判断我们预期长度属于哪个片段，然后截取预期长度在该片段中的长度，再进入递归计算。
2）我们还需要实现根据参数u，计算对应弧长的方法。
后者本质上就是求一个积分（在前面已经给出了）我们可以采用simpson方法，将其展开成n个区间（偶数），然后求和。
spline.cpp // 样条曲线
paintWindow.cpp //绘制窗口
window.cpp //主窗口
main.cpp //入口
代码
（明天会加入注释）spline.h
#ifndef SPLINE_H#define SPLINE_Hclass point{public: float x; float y; void setPoint(float _x, float _y);};class spline{private: float *a[2],*b[2],*c[2],*d[2];//每段Spline曲线的参数 float *A, *B, *C, *D, *E; float m[16];//矩阵M point* knots; point* Spline; int grain; int n; int count; float tension; void CubicSpline(); void initLength(); void GetCardinalMatrix(); float f(int j,float x); float Matrix(int i,int j,float u); void init(int i,int j,float a0, float b0, float c0, float d0); float simpson(int j,float x,float y);public: spline(point* p, int _n, int _grain, float _tension); ~spline(); void print(); float getX(int i); float getY(int i); float getXFromU(int i,float u); float getYFromU(int i,float u); float getLen(int i,float u); float getU(int i,float s,float u1,float u2); int size();};#endif // SPLINE_HpaintWindow.h
#ifndef PAINTWINDOW_H#define PAINTWINDOW_H#include"spline.h"#include<QWidget>#include<vector>class QTimer;class paintWindow : public QWidget{ Q_OBJECTprivate: spline* s; std::vector<point>vec; int size; QTimer* timer; class car_t{ public: QPixmap* p[3]; float speed; float acce; float getLen(int t); }car; float totalLen; float radio; float x1,y1,x2,y2; bool isFirst; float* length; int index; int time; void setPoint(float x,float y); int getSec(float s); float getRatio(); float getRatio(int i,int j);public: paintWindow(QWidget *parent = 0); ~paintWindow(); void setSpline(int grain, float tension); void setCar(float speed,float acce); void clear(); float getTotalLen(); void startMove();protected: void paintEvent(QPaintEvent *); void mousePressEvent(QMouseEvent *);private slots: void changeState();};#endif // WINDOW_Hwindow.h
#ifndef WINDOW_H#define WINDOW_H#include "paintWindow.h"class QPushButton;class QLabel;class QHBoxLayout;class QVBoxLayout;class QLineEdit;class window : public QWidget{ Q_OBJECTprivate: QWidget* menuWindow; QHBoxLayout* hlayout[5]; QVBoxLayout* vlayout; paintWindow* w; QLineEdit* grainLine; QLineEdit* tensionLine; QLineEdit* speedLine; QLineEdit* acceLine; QLabel* lenLabel; QLabel* grainLabel; QLabel* tensionLabel; QLabel* speedLabel; QLabel* acceLabel; QPushButton* genButton; QPushButton* startButton; QPushButton* clearButton; void layout();public: window(QWidget* parent = 0);private slots: void updatePaintWindow(); void clear(); void start();};#endif // WINDOW_Hspline.cpp
#include "spline.h"#include<math.h>void point::setPoint(float _x, float _y){ x = _x; y = _y;}void spline::initLength(){ A = new float[n-1]; B = new float[n-1]; C = new float[n-1]; D = new float[n-1]; E = new float[n-1]; for(int i=0;i<n-1;i++){ A[i] = 9*(a[0][i]*a[0][i]+a[1][i]*a[1][i]); B[i] = 12*(a[0][i]*b[0][i]+a[1][i]*b[1][i]); C[i] = 6*(a[0][i]*c[0][i]+a[1][i]*c[1][i]) + 4*(b[0][i]*b[0][i]+b[1][i]*b[1][i]); D[i] = 4*(b[0][i]*c[0][i]+b[1][i]*c[1][i]); E[i] = c[0][i]*c[0][i]+c[1][i]*c[1][i]; }}float spline::f(int i,float x){ return sqrt(((((A[i]*x+B[i])*x)+C[i])*x+D[i])*x+E[i]);}float spline::simpson(int j,float x,float y){ const int n = 10; const float h = (y - x)/n; float ans = 0.0f; for(int i=1;i<=n-1;i++){ if(i%2){ ans += 4*f(j,x+1.0f*i/n*(y-x)); } else ans += 2*f(j,x+1.0f*i/n*(y-x)); } ans += f(j,x) + f(j,y); ans *= h/3; return ans;}//第i段，ufloat spline::getLen(int i,float u){ return simpson(i,0,u);}float spline::getU(int i,float s,float u1,float u2){ float ms = getLen(i,(u1+u2)/2); if(ms-s>-1.0f && ms-s<1.0f){ return (u1+u2)/2; } else if(ms > s)return getU(i,s,u1,(u1+u2)/2); else if(ms < s)return getU(i,s,(u1+u2)/2,u2);}spline::spline(point* p, int _n, int _grain, float _tension){ n = _n; grain = _grain; tension = _tension; knots = new point[n + 2]; for (int i = 1; i<=n; i++) { knots[i].x = p[i-1].x; knots[i].y = p[i-1].y; } knots[0].x = p[0].x; knots[0].y = p[0].y; knots[n + 1].x = p[n - 1].x; knots[n + 1].y = p[n - 1].y; Spline = new point[(n-1)* grain + 1]; a[0] = new float[n-1]; b[0] = new float[n-1]; c[0] = new float[n-1]; d[0] = new float[n-1]; a[1] = new float[n-1]; b[1] = new float[n-1]; c[1] = new float[n-1]; d[1] = new float[n-1]; count = 0; CubicSpline(); initLength();}int spline::size(){ return (n-1)*grain + 1;}float spline::getX(int i){ return Spline[i].x;}float spline::getY(int i){ return Spline[i].y;}void spline::CubicSpline(){ point *s, *k0, *kml, *k1, *k2; int i, j; float* u = new float[grain]; GetCardinalMatrix(); for (i = 0; i<grain; i++) { u[i] = ((float)i) / grain;//u [0,1] } s = Spline; kml = knots; k0 = kml + 1; k1 = k0 + 1; k2 = k1 + 1; for (i = 0; i<n-1; i++) { init(0,i,kml->x,k0->x,k1->x,k2->x); init(1,i,kml->y,k0->y,k1->y,k2->y); for (j = 0; j<grain; j++) { s->x = Matrix(0, i, u[j]); s->y = Matrix(1, i, u[j]); s++; } k0++, kml++, k1++, k2++; } s->x = knots[n].x; s->y = knots[n].y; delete u;}void spline::print(){ for (int i = 0; i < grain*(n-1)+1; i++) { if (i%grain == 0)printf("\n"); printf("%f %f\n", Spline[i].x, Spline[i].y); }}void spline::GetCardinalMatrix(){ float a1 = tension; m[0] = -a1, m[1] = 2 - a1, m[2] = a1 - 2, m[3] = a1; m[4] = 2 * a1, m[5] = a1 - 3, m[6] = 3 - 2 * a1, m[7] = -a1; m[8] = -a1, m[9] = 0, m[10] = a1, m[11] = 0; m[12] = 0, m[13] = 1, m[14] = 0, m[15] = 0;}void spline::init(int i,int j,float a0, float b0, float c0, float d0){ a[i][j] = m[0] * a0 + m[1] * b0 + m[2] * c0 + m[3] * d0; b[i][j] = m[4] * a0 + m[5] * b0 + m[6] * c0 + m[7] * d0; c[i][j] = m[8] * a0 + m[9] * b0 + m[10] * c0 + m[11] * d0; d[i][j] = m[12] * a0 + m[13] * b0 + m[14] * c0 + m[15] * d0;}//i为0：X，i为1：Y//ufloat spline::Matrix(int i, int j,float u){ return(d[i][j] + u*(c[i][j] + u*(b[i][j] + u*a[i][j])));}float spline::getXFromU(int i,float u){ return Matrix(0,i,u);}float spline::getYFromU(int i,float u){ return Matrix(1,i,u);}spline::~spline(){ delete[] knots; delete[] Spline;}paintWindow.cpp
#include"paintWindow.h"#include<QMouseEvent>#include<QPainter>#include<QPixmap>#include<paintWindow.h>#include<cmath>#include<QTimer>#include<qDebug>//可以用累加法float paintWindow::car_t::getLen(int t){ return speed*t + acce*t*t/2;}paintWindow::paintWindow(QWidget *parent): QWidget(parent){ s = NULL; size = 0; isFirst = true; index = 0; time = 0; x1 = y1 = x2 = y2 = -1; car.p[0] = new QPixmap; car.p[1] = new QPixmap; car.p[2] = new QPixmap; car.p[0]->load("1.png"); car.p[1]->load("2.png"); car.p[2]->load("3.png"); timer = new QTimer(); connect(timer,SIGNAL(timeout()),this,SLOT(changeState()));}paintWindow::~paintWindow(){ //delete[] p;}int paintWindow::getSec(float s){ float len = length[0]; if(s<len)return 0; for(int i=1;i<vec.size()-1;i++){ if(s>len && s<len+length[i]){ return i; } len += length[i]; }}void paintWindow::changeState(){ float len = car.getLen(time); index = (index+1)%3; if(len>totalLen||len<0){ time = 0; x1 = y1 = x2 = y2 = -1; timer->stop(); return; } time ++; int sec = getSec(len); for(int i=0;i<sec;i++){ len -= length[i]; } float u = s->getU(sec,len,0,1); if(isFirst){ x1 = s->getXFromU(sec,u); y1 = s->getYFromU(sec,u); isFirst = false; } else{ x2 = s->getXFromU(sec,u); y2 = s->getYFromU(sec,u); isFirst = true; } update();}void paintWindow::startMove(){ index = 0; time = 0; timer->start(100);//fps:10}float paintWindow::getTotalLen(){ totalLen = 0.0f; for(int i=0;i<vec.size()-1;i++){ length[i] = s->getLen(i,1.0f); totalLen += length[i]; } return totalLen;}void paintWindow::setCar(float speed,float acce){ car.acce = acce; car.speed = speed;}void paintWindow::setSpline(int grain, float tension){ length = new float[vec.size()-1]; if(!timer->isActive())index = 0; if(!s)delete s; if(vec.size()==0)return; point* p = new point[vec.size()]; for(int i=0;i<vec.size();i++){ p[i].x = vec[i].x; p[i].y = vec[i].y; } s = new spline(p,vec.size(),grain,tension); size = s->size();}void paintWindow::clear(){ size = 0; vec.clear(); delete s; time = 0; index = 0; timer->stop(); x1 = y1 = x2 = y2 = -1; update();}float paintWindow::getRatio(int i,int j){ const float pi = 3.14159; double tan = (s->getY(j)-s->getY(i))/(s->getX(j)-s->getX(i)); double theta = atan(tan); return theta/(2*pi)*360;}float paintWindow::getRatio(){ const float pi = 3.14159; if((x2-x1)<0.01f&&(y2-y1)<0.01f){ return radio; } if(x2-x1==0)return 0; float tan = (y2-y1)/(x2-x1); float theta = atan(tan); return radio = theta/(2*pi)*360;}void paintWindow::paintEvent(QPaintEvent *){ QPainter paint(this); if(size>0){ float ratio; if(x1==-1||x2==-1||y1==-1||y2==-1){ ratio = (s->getY(1)-s->getY(0))/(s->getX(1)-s->getX(0)); } else ratio = getRatio(); if(isFirst)paint.translate(x1,y1); else paint.translate(x2,y2); paint.rotate(ratio); paint.drawPixmap(-90,-90,180,90,*car.p[index%3]); paint.rotate(-ratio); if(isFirst)paint.translate(-x1,-y1); else paint.translate(-x2,-y2); } paint.setBrush(QBrush(Qt::black,Qt::SolidPattern));//设置画刷形式 for(int i=0;i<size-1;i++){ paint.drawLine(s->getX(i),s->getY(i), s->getX(i+1),s->getY(i+1)); } for(int i=0;i<vec.size();i++){ paint.drawEllipse(vec[i].x,vec[i].y,5,5); }}void paintWindow::mousePressEvent(QMouseEvent *e){ float x = e->pos().x(); float y = e->pos().y(); point p; p.setPoint(x,y); vec.push_back(p); update();}window.cpp
#include"window.h"#include<QPushButton>#include<QLabel>#include<QHBoxLayout>#include<QVBoxLayout>#include<QLineEdit>window::window(QWidget* parent):QWidget(parent){ layout();}void window::layout(){ w = new paintWindow(); menuWindow = new QWidget(); grainLabel = new QLabel("grain"); tensionLabel = new QLabel("tension"); speedLabel = new QLabel("speed"); acceLabel = new QLabel("accelerate"); lenLabel = new QLabel("total length："); genButton = new QPushButton("生成轨迹"); startButton = new QPushButton("开始运动"); clearButton = new QPushButton("清空"); startButton->setDisabled(true); grainLine = new QLineEdit(); tensionLine = new QLineEdit(); speedLine = new QLineEdit(); acceLine = new QLineEdit(); connect(genButton,SIGNAL(clicked()),this,SLOT(updatePaintWindow())); connect(clearButton,SIGNAL(clicked()),this,SLOT(clear())); connect(startButton,SIGNAL(clicked()),this,SLOT(start())); grainLine->setText("20"); tensionLine->setText("0.5"); speedLine->setText("10"); acceLine->setText("0"); for(int i=0;i<5;i++){ hlayout[i] = new QHBoxLayout; } vlayout = new QVBoxLayout; hlayout[0]->addWidget(grainLabel); hlayout[0]->addWidget(grainLine); hlayout[1]->addWidget(tensionLabel); hlayout[1]->addWidget(tensionLine); hlayout[3]->addWidget(speedLabel); hlayout[3]->addWidget(speedLine); hlayout[4]->addWidget(acceLabel); hlayout[4]->addWidget(acceLine); vlayout->addLayout(hlayout[0]); vlayout->addLayout(hlayout[1]); vlayout->addLayout(hlayout[3]); vlayout->addLayout(hlayout[4]); vlayout->addWidget(lenLabel); vlayout->addWidget(genButton); vlayout->addWidget(startButton); vlayout->addWidget(clearButton); menuWindow->setFixedWidth(200); menuWindow->setLayout(vlayout); resize(900,900); hlayout[2]->addWidget(menuWindow); hlayout[2]->addWidget(w); setLayout(hlayout[2]);}void window::updatePaintWindow(){ startButton->setDisabled(false); w->setSpline(grainLine->text().toInt(),tensionLine->text().toFloat()); lenLabel->setText("total length：\n" + QString("%1").arg(w->getTotalLen())); w->update();}void window::clear(){ w->clear(); startButton->setDisabled(true);}void window::start(){ w->setCar(speedLine->text().toFloat(),acceLine->text().toFloat()); w->startMove();}main.cpp
#include "window.h"#include <QApplication>int main(int argc, char *argv[]){ QApplication a(argc, argv); window w; w.show(); return a.exec();}qwq不要用我的图呜哇
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