HDU 4818 RP problem （高斯消元， 2013年长春区域赛F题）

      注意：本题的代码出处来自kuangbin的博客，但是在网上看了几个题解，对代码都没有详细的说明，苦心钻研了一段时间后才明白。

     1问题一：为什么只需要原来的n-1个方程再加上所有流量加和为一即可。

  其实很简单，因为n-1个方程是对对应点的流量守恒的诠释，所以只要n-1个点守恒了，那么最后一个一个点一定守恒了，任意n-1个方程加上总的守恒即可表示所有状态。

    2 问题二：为什么只需要一次高斯消元即可遍历所有的可能增加的情况。

     对于可能连边后的方程，改变的只可能是第n-1点原来流向的方程和新增的那个位置的方程，换句话说其他的位置的系数都没有改变，对应的是前n-1列的系数在所有的情况下都是相等的，而高斯消元法每次是以列进行的，所以前n-1次消元都是相同的，进行不同的第n列时我们只需要得到第n-1点的值即可，显然这是最后一行只剩下第n-1点这一个未知数，所以它的值只要是x[n-1]除以第n-1点的系数即可，所以一切都豁然开朗。

     ps：还有一个小小的问题可能太简单，是我犯傻了，就是每次进行消元时可能进行的交换，但是对于未知数的求解没有任何影响，但当时不知是怎么了一直在这犯傻。。。。。

下面是kuangbin的代码

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <algorithm>#include <queue>#include <map>#include <set>#include <vector>#include <string>#include <math.h>using namespace std;#define eps 1e-6const int MAXN=220;double a[MAXN][MAXN],x[MAXN];int equ,var;int Gauss(){    int i,j,k,col,max_r;    for(k=0,col=0;k<equ&&col<var;k++,col++){        max_r = k;        for(i=k+1;i<equ;i++)            if(fabs(a[i][col])>fabs(a[max_r][col]))                max_r = i;        if(fabs(a[max_r][col])<eps)return 0; //无解,有自由变元        if(k != max_r){            for(j=col;j<var;j++)                swap(a[k][j],a[max_r][j]);            swap(x[k],x[max_r]);        }        x[k]/=a[k][col];        for(j=col+1;j<var;j++)a[k][j]/=a[k][col];        a[k][col] = 1;        for(i=0;i<equ;i++)            if(i!=k){                x[i] -= x[k]*a[i][k];                for(j=col+1;j<var;j++)a[i][j]-=a[k][j]*a[i][col];                a[i][col]=0;            }    }    return 1;}vector<int>vec[MAXN];int g[MAXN][MAXN];int du[MAXN];int add[MAXN];int main(){    //freopen("in.txt","r",stdin);    //freopen("out.txt","w",stdout);    int T;    int n,m;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        scanf("%d%d",&n,&m);        for(int i = 0;i < n;i++)            vec[i].clear();        memset(g,0,sizeof(g));        memset(du,0,sizeof(du));        int u,v;        while(m--)        {            scanf("%d%d",&u,&v);            if(u == v)continue;            g[u][v] = 1;        }        for(int i = 0;i < n;i++)        {            for(int j = 0;j < n;j++)                if(j != i && g[i][j])                {                    du[i]++;                    vec[j].push_back(i);                }        }        equ = var = n;        for(int i = 0;i < n;i++)            x[i] = 0;        memset(a,0,sizeof(a));        for(int i = 0;i < n;i++)        {            a[i][i] = -1;            int sz = vec[i].size();            for(int j = 0;j < sz;j++)            {                int v = vec[i][j];                if(i == v)continue;                a[i][v] = 1.0 / du[v];            }        }        for(int i = 0;i < n;i++)            a[n-1][i] = 1;        x[n-1] = 1;        for(int k = 0;k < n-1;k++)            if(g[n-1][k] == 0)            {                for(int i = 0;i < n-1;i++)                {                    if(g[n-1][i])a[i][var] = 1.0/(du[n-1]+1);                    else a[i][var] = 0;                }                a[k][var] = 1.0/(du[n-1]+1);                a[n-1][var] = 1;                add[var] = k;                var++;            }        if(!Gauss())        {            printf("INF\n");            continue;        }        double tt = x[n-1];        double now = x[n-1];        int ans = -1;        for(int i = n;i < var;i++)        {            if(x[n-1]/a[n-1][i] > now)            {                ans = add[i];                now = x[n-1]/a[n-1][i];            }        }        printf("%d %d\n",1,ans);    }    return 0;}