泔水（）

欢迎大家观看本人第一张博客

---

16340218

数据科学与计算机学院

目录

• 数学干货之不等式
  
  • 均值不等式
  • 幂平均不等式
  • 柯西不等式
  • 琴生不等式
• 证明不等式的小策略
  
  • 函数法
  • “暴力”
  • 积分法
  • 数学归纳法
• 水货-大学感想

---

一、各类不等式

1.均值不等式

平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数
就是这样子：
∑a2nn−−−−√≥∑ann≥∏an−−−−√n≥n∑1an

2.幂平均不等式

设a1,a2⋯an>0
有∑annn−−−−√n≥⋯≥∑a3nn−−−−√3≥∑a2nn−−−−√≥∑ann

3.柯西不等式

对于实数a1,a2,⋯an以及b1,b2,⋯bn，有(∑a2n)(∑b2n)≥(∑anbn)2
等号当且仅当a1b1=a2b2=⋯=anbn时成立。
柯西不等式常用来去分母，去根号，去平方等。

4.琴生不等式

对于凸函数f(x),我们有∑f(xn)n≥f(∑xnn)
对于凹函数，不等式反向。等号当且仅当x1=x2=⋯=xn时取得。
其中满足二阶导数f′′(x)≥0 的函数称为凸函数，反之称为凹函数。

二、证明不等式的小策略

1.函数法

例：在三角形ABC中，证明sinA+sinB+sinC≤33√2
证明：设f(x)=sinx
在[0,180。]内，f′′(x)=−sinx≤0
由琴生不等式，f(A)+f(B)+f(C)3≤f(A+B+C3)=f(60。)
即sinA+sinB+sinC≤33√3
联系琴生不等式，构造函数即可。

2.”暴力“

已知a,b,c>0,证明：∑a2(a+b)(a+c)≥34
证明：即证4∑a2(b+c)≥∏(a+b)1
即证4∑a2b≥3∑(a2b+2abc)
即证∑a2b≥6abc
由均值不等式即知成立。
熟练运用累加和累积符号，记忆一些常见展开式。

3.积分法

设原不等式是f(x)从a到b逐一累加。一般的，我们有，
若函数f(x)在[a-1,b-1]上单调递增，
则∫ba−1f(x)dx<原不等式<∫b+1af(x)dx
若函数f(x)在[a-1,b-1]上单调递减，
则∫b+1af(x)dx<原不等式<∫ba−1f(x)dx
根据积分求法而来，使用时画画图即可。

4.数学归纳法

关于自然数n的不等式，以及n个字母的不等式，可以考虑数学归纳法。

三、大学感想

哎呀我去，终于敲完了那一堆代码似的东西，现在来水一水。我把博客的名字定义为Grom-Hellscream是为了纪念我的高三。肯定有很多人认识他。回想高三，每天的状态是这样的：

很丑但是很疯狂，每天极其充实，每个人都在朝着自己的梦想奋斗，那种充实感迄今难忘。经历了一次坑爹高考之后我傻傻地进入了大学。然后发现一件可怕的事：浪永远有代价，它不会像高中一样通过一次考试来使你惊醒，而是，要你慢性偿还，待你惊醒时却早已为时已晚。所以，大学最难。它不会给你那种完美的环境简单的目标任你追求，它只会给你大把可以自由支配的时间并附带无数浪费掉它们的方式。好在——世界其实不大，只要一直向前。

---

---

1. ∏:累乘
   ∑a2(b+c)=a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b) ↩