数值方法求积分 详解+模板代码

什么是数值积分

　　数值积分可以用来求定积分的近似值。对于很多函数来说，我们是可以使用初等函数来表示出其积分的，对于这种函数，只需要求出不定积分然后代入值就能得到定积分了。

　　可是除此之外还有许多难求的函数和没法使用初等函数表示的函数。当我们想要求出它们的定积分的时候，需要使用数值积分来求解。

　　在ACM中一些题目需要使用数值积分来求解，以下列出一些求数值积分的方法，由简单到难，而对ACMer来说最重要的是复合Simpson，其精度较高，且可调精度，是乱搞积分几何的利器。

　　我从这学的：网易公开课 MIT 数值积分

　　学习的契机是想要A掉这题：ZOJ 3898我的题解

法一·黎曼和

黎曼和是用将区间等长分为n段，然后用矩形去逼近函数，每段的长为Δx。

可以选择每段左侧的函数值作为矩形的高，也可以选择每段右侧的函数值作为矩形的高。

若设n+1个函数值从左至右为x0,x1⋯xn，可得如下公式： 

Left Hand Riemann=Right Hand Riemann=Δxf(x0)+Δxf(x1)+⋯+Δxf(xn−1)=Δx∑i=0n−1f(xi)Δxf(x1)+Δxf(x2)+⋯+Δxf(xn)=Δx∑i=1nf(xi)

这种逼近比较粗糙，不过能比较好地传达数值积分的概念。

法二·梯形法

黎曼和虽然简单，但是精度堪忧，没法很好地模拟逼近函数，接下来介绍第二种方法。

可以看出用矩形逼近的时候有很多空缺，使用梯形去逼近，就能大大提高精度了，看上去很像了。 
 
沿用之前的xi，由梯形公式我们可以得到如下公式： 

Trapezoid=Δx(f(x0)+f(x1))2+Δx(f(x1)+f(x2))2+⋯+Δx(f(xn−1)+f(xn))2=Δx(f(x0)2+f(x1)+⋯+f(xn−1)+f(xn)2)=Left Hand Riemann+Right Hand Riemann2

可以看出梯形法求出的就是左右黎曼和的平均值。

公式中第一个和最后一个需要除以2其他都能合出来1个。

法三·Simpson公式

前两种都比较简单，但是精度比较差，第三种方法是用抛物线去逼近。

其实我并不知道是怎么计算的，是从公开课上学来的。

使用Simpson公式首先需要n为偶数。

将整个区间分为n2段，每段的底为2Δx，高比较难搞，但是是有公式的：Simpson height=f(xl)+4f(xm)+f(xr)6

于是有公式： 

Simpson=Δx3(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+⋯+2f(xn−2)+4f(xn−1)+f(xn))

法四·复合Simpson

Simpson公式的精度其实已经相当不错了，可是相对于ACM中所需的精度仍然有差距。

为了提高精度，我们需要多次重复利用Simpson公式。

我们先定义被积函数为f(x)，定义Simpson(l,r)=(r−l)f(l)+4f(l+r2)+f(r)6

这也就是常规的Simpson公式，再定义函数RSimpson为复合Simpson。

当我们要求RSimpson(l,r)，先令m=l+r2

当Simpson(l,r)≈Simpson(l,m)+Simpson(m,r)时我们就认为精度够了返回其中一个。

当不满足的时候我们就再分段去求RSimpson(l,m)+RSimpson(m,r)

这样得到的精度就比较高了，而且通过定义≈的范围可以调整精度。

总结公式如下： 

RSimpson(l,r)={Simpson(l,r)                                              approximateRSimpson(l,m)+RSimpson(m,r)       else

复合Simpson的实现

inline double getAppr(double fl, double fm, double fr, double l, double r) {    return (fl+4*fm+fr)*(r-l)/6.0;}double Simpson(double l, double r, double fl, double fr) {    double m = (l+r)/2, lm = (l+m)/2, rm = (r+m)/2;    double fm = f(m), flm = f(lm), frm = f(rm);    double vlr = getAppr(fl, fm, fr, l, r);    double vlm = getAppr(fl, flm, fm, l, m);    double vrm = getAppr(fm, frm, fr, m, r);    return fabs(vlr-vlm-vrm) < EPS ? vlr : Simpson(l, m, fl, fm)+Simpson(m, r, fm, fr);}

复合Simpson的实现2(Natureal的代码)

inline double getAppr(double l,double r){    return (f(l) + 4.0*f((l+r)/2) + f(r)) * (r - l) / 6.0;}double Simpson(double l,double r){    double sum = getAppr(l,r);    double mid = (l+r)/2;    double suml = getAppr(l,mid);    double sumr = getAppr(mid,r);    return (fabs(sum - suml - sumr) < EPS) ? sum : Simpson(l, mid) + Simpson(mid, r);}