Codeforces Round #359 (Div. 2)E. Optimal Point ★ ★ ★

来源：互联网发布：json格式用什么打开编辑：程序博客网时间：2024/04/28 17:32

题意：给定t组数据，每组给n个点(x,y,z)。求一个点(X,Y,Z)使得max(|xi-X|+|yi-Y|+|zi-Z|)最小。

题解：

首先二分答案 $\delta$ 。假设最优的点是 $(X, Y, Z)$ ，
那么对于任意的点 $i$ 有 $|x_i - X| + |y_i - Y| + |z_i - Z| \leq \delta$

因为
$|x_i - X| = \max\{x_i - X, X - x_i\},$ $|y_i - Y| = \max\{y_i - Y, Y - y_i\},$ $|z_i - Z| = \max\{z_i - Z, Z - z_i\}.$ 所以
$|x_i - X| + |y_i - Y| + |z_i - Z| = \max\{(x_i + y_i + z_i) - (X + Y + Z), \ldots\} \leq \delta.$

总之，
$\max\{x_i + y_i + z_i\} - \delta \leq X + Y + Z \leq \min\{x_i + y_i + z_i\} + \delta,$ $\max\{-x_i + y_i + z_i\} - \delta \leq -X + Y + Z \leq \min\{-x_i + y_i + z_i\} + \delta,$ $\max\{x_i + y_i - z_i\} - \delta \leq X + Y - Z \leq \min\{x_i + y_i - z_i\} + \delta,$ $\max\{-x_i + y_i - z_i\} - \delta \leq -X + Y - Z \leq \min\{-x_i + y_i - z_i\} + \delta.$

为了解不等式组，令 $S = Y + Z$ ，我们知道
$\max\{x_i + y_i + z_i\} - \delta -X \leq S \leq \min\{x_i + y_i + z_i\} + \delta - X,$ $\max\{-x_i + y_i + z_i\} - \delta +X \leq S \leq \min\{-x_i + y_i + z_i\} + \delta + X.$ 即区间
$[\max\{x_i + y_i + z_i\} - \delta -X, \min\{x_i + y_i + z_i\} + \delta - X]$ 和区间
$[\max\{-x_i + y_i + z_i\} - \delta +X, \min\{-x_i + y_i + z_i\} + \delta + X]$ 有交，解出 $X$ 的范围。

同理，令 $D = Y - Z$ ，也可以解出 $X$ 的范围。如果 $X$ 的解集不空，任意选一个 $X_0$ ，得到 $S$ 和 $D$ 的范围。
如果范围内存在一组 $(S, D)$ 同奇偶，那么 $(Y, Z)$ 也有解。
如果奇偶性出现问题，需要再取一组 $X_1$ .

具体实现时，中间运算的结果可能会超过 64 位整数。我的代码小心地避免了溢出。

#include<map>#include<set>#include<cmath>#include<queue>#include<bitset>#include<math.h>#include<cstdio>#include<vector>#include<string>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")using namespace std;const int N=100010;const int MAX=1000000100;const int mod=100000000;const int MOD1=1000000007;const int MOD2=1000000009;const double EPS=0.00000001;typedef long long ll;const ll MOD=998244353;const int INF=1000000010;const double pi=acos(-1.0);typedef double db;typedef unsigned long long ull;ll mx[5],mi[5];ll X[5][2],f[7],MX=1e18;ll get(ll x,ll y) {//防爆longlong    if ((x<0&&y<0)||(x>0&&y>0)) {        ll bo=0;        if (x%2&&y%2) bo=1;        if (x<0&&y<0) return x/2+y/2-bo;        else return x/2+y/2+bo;    } else return (x+y)/2;}int pd(ll x) {    f[3]=max(X[1][0]-x,X[2][0]+x);f[4]=min(X[1][1]-x,X[2][1]+x);    f[5]=max(X[3][0]-x,X[4][0]+x);f[6]=min(X[3][1]-x,X[4][1]+x);    if (f[3]>f[4]||f[5]>f[6]) return 0;    if (f[4]>f[3]||f[6]>f[5]) return 1;    if ((f[3]%2+2)%2==(f[5]%2+2)%2) return 1;    return 0;}int check(ll x) {    int i;    for (i=1;i<5;i++) {        X[i][0]=mx[i]-x;X[i][1]=mi[i]+x;        if (X[i][0]>X[i][1]) return 0;    }    f[1]=get(X[1][0],-X[2][1]);f[2]=get(X[1][1],-X[2][0]);//[x1,x2]    f[3]=get(X[3][0],-X[4][1]);f[4]=get(X[3][1],-X[4][0]);//[x3,x4]    f[1]=max(f[1],max(f[3],-MX));f[2]=min(f[2],min(f[4],MX));//[x1,x2]&[x3,x4],防爆longlong    if (f[1]>f[2]) return 0;    for (ll j=f[1];j<=f[2];j++)    if (pd(j)) return 1;    return 0;}int main(){    int i,n,t;    ll x,y,z,mxx=3*1e18;    scanf("%d", &t);    while (t--) {        scanf("%d", &n);        for (i=1;i<5;i++) {            mi[i]=mxx;mx[i]=-mxx;        }        for (i=1;i<=n;i++) {            scanf("%I64d%I64d%I64d", &x, &y, &z);            mi[1]=min(mi[1],x+y+z);mx[1]=max(mx[1],x+y+z);            mi[2]=min(mi[2],-x+y+z);mx[2]=max(mx[2],-x+y+z);            mi[3]=min(mi[3],x+y-z);mx[3]=max(mx[3],x+y-z);            mi[4]=min(mi[4],-x+y-z);mx[4]=max(mx[4],-x+y-z);        }        ll l=-1,r=mxx,mid=(l+r)>>1;        while (l+1<r)        if (check(mid)) { r=mid;mid=(l+r)>>1; }        else { l=mid;mid=(l+r)>>1; }        check(r);        for (ll j=f[1];j<=f[2];j++)        if (pd(j)) {            x=j;            if (f[3]==f[4]||f[5]==f[6]) {                if (f[3]==f[4]) {                    y=f[3];                    if ((f[5]%2+2)%2==(f[3]%2+2)%2) z=f[5];                    else z=f[5]+1;                } else {                    z=f[5];                    if ((f[5]%2+2)%2==(f[3]%2+2)%2) y=f[3];                    else y=f[3]+1;                }            } else {                y=f[3];                if ((f[5]%2+2)%2==(f[3]%2+2)%2) z=f[5];                else z=f[5]+1;            }            break ;        }        printf("%I64d %I64d %I64d\n", x, get(y,z), get(y,-z));    }    return 0;}

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