k-means算法与Python实践

       机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考《机器学习实战》这本书。因为自己想学习Python，然后也想对一些机器学习算法加深下了解，所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍，所以就参考这本书的过程来学习了。

       机器学习中有两类的大问题，一个是分类，一个是聚类。分类是根据一些给定的已知类别标号的样本，训练某种学习机器，使它能够对未知类别的样本进行分类。这属于supervised learning（监督学习）。而聚类指事先并不知道任何样本的类别标号，希望通过某种算法来把一组未知类别的样本划分成若干类别，这在机器学习中被称作 unsupervised learning （无监督学习）。在本文中，我们关注其中一个比较简单的聚类算法：k-means算法。

 

一、k-means算法

       通常，人们根据样本间的某种距离或者相似性来定义聚类，即把相似的（或距离近的）样本聚为同一类，而把不相似的（或距离远的）样本归在其他类。

       我们以一个二维的例子来说明下聚类的目的。如下图左所示，假设我们的n个样本点分布在图中所示的二维空间。从数据点的大致形状可以看出它们大致聚为三个cluster，其中两个紧凑一些，剩下那个松散一些。我们的目的是为这些数据分组，以便能区分出属于不同的簇的数据，如果按照分组给它们标上不同的颜色，就是像下图右边的图那样：

       如果人可以看到像上图那样的数据分布，就可以轻松进行聚类。但我们怎么教会计算机按照我们的思维去做同样的事情呢？这里就介绍个集简单和经典于一身的k-means算法。

       k-means算法是一种很常见的聚类算法，它的基本思想是：通过迭代寻找k个聚类的一种划分方案，使得用这k个聚类的均值来代表相应各类样本时所得的总体误差最小。

       k-means算法的基础是最小误差平方和准则。其代价函数是：

       式中，μ_c(i)表示第i个聚类的均值。我们希望代价函数最小，直观的来说，各类内的样本越相似，其与该类均值间的误差平方越小，对所有类所得到的误差平方求和，即可验证分为k类时，各聚类是否是最优的。

      上式的代价函数无法用解析的方法最小化，只能有迭代的方法。k-means算法是将样本聚类成 k个簇（cluster），其中k是用户给定的，其求解过程非常直观简单，具体算法描述如下：

1、随机选取 k个聚类质心点

2、重复下面过程直到收敛  {

      对于每一个样例 i，计算其应该属于的类：

      对于每一个类 j，重新计算该类的质心：

}

      下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果，这里k取2。

其伪代码如下：

********************************************************************

创建k个点作为初始的质心点（随机选择）

当任意一个点的簇分配结果发生改变时

       对数据集中的每一个数据点

              对每一个质心

                     计算质心与数据点的距离

              将数据点分配到距离最近的簇

       对每一个簇，计算簇中所有点的均值，并将均值作为质心

********************************************************************

 

二、Python实现

      我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方，如果有，还望大家指正（每次的运行结果都有可能不同）。里面我写了个可视化结果的函数，但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码：

  kmeans.py   

################################################## kmeans: k-means cluster# Author : zouxy# Date   : 2013-12-25# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09# Email  : [e-mail]#################################################from numpy import *import timeimport matplotlib.pyplot as plt# calculate Euclidean distancedef euclDistance(vector1, vector2):return sqrt(sum(power(vector2 - vector1, 2)))# init centroids with random samplesdef initCentroids(dataSet, k):numSamples, dim = dataSet.shapecentroids = zeros((k, dim))for i in range(k):index = int(random.uniform(0, numSamples))centroids[i, :] = dataSet[index, :]return centroids# k-means clusterdef kmeans(dataSet, k):numSamples = dataSet.shape[0]# first column stores which cluster this sample belongs to,# second column stores the error between this sample and its centroidclusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2)))clusterChanged = True## step 1: init centroidscentroids = initCentroids(dataSet, k)while clusterChanged:clusterChanged = False## for each samplefor i in xrange(numSamples):minDist  = 100000.0minIndex = 0## for each centroid## step 2: find the centroid who is closestfor j in range(k):distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])if distance < minDist:minDist  = distanceminIndex = j## step 3: update its clusterif clusterAssment[i, 0] != minIndex:clusterChanged = TrueclusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2## step 4: update centroidsfor j in range(k):pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]]centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis = 0)print 'Congratulations, cluster complete!'return centroids, clusterAssment# show your cluster only available with 2-D datadef showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):numSamples, dim = dataSet.shapeif dim != 2:print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"return 1mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', '<r', 'pr']if k > len(mark):print "Sorry! Your k is too large! please contact Zouxy"return 1# draw all samplesfor i in xrange(numSamples):markIndex = int(clusterAssment[i, 0])plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex])mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', '<b', 'pb']# draw the centroidsfor i in range(k):plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i, 1], mark[i], markersize = 12)plt.show()

testSet.txt

1.6589854.285136-3.4536873.4243214.838138-1.151539-5.379713-3.3621040.9725642.924086-3.5679191.5316110.450614-3.302219-3.487105-1.7244322.6687591.594842-3.1564853.1911373.165506-3.999838-2.786837-3.0993544.2081872.984927-2.1233372.9433660.704199-0.479481-0.392370-3.9637042.8316671.574018-0.7901533.3431442.943496-3.357075-3.195883-2.2839262.3364452.875106-1.7863452.5542482.190101-1.906020-3.403367-2.7782881.7781243.880832-1.6883462.2302672.592976-2.054368-4.007257-3.2070662.2577343.387564-2.6790110.7851190.939512-4.023563-3.674424-2.2610842.0462592.735279-3.1894701.7802694.372646-0.822248-2.579316-3.4975761.8890345.190400-0.7987472.1855882.836520-2.658556-3.837877-3.2538152.0967013.886007-2.7090342.9238873.367037-3.184789-2.121479-4.2325862.3295463.179764-3.2848163.2730993.091414-3.815232-3.762093-2.4321913.5420562.778832-1.7368224.2410412.127073-2.983680-4.323818-3.9381163.7921215.135768-4.7864733.3585472.624081-3.260715-4.009299-2.9781152.4935251.963710-2.5136612.6421621.864375-3.176309-3.171184-3.5724522.8942202.489128-2.5625392.8844383.491078-3.947487-2.565729-2.0121143.3329483.983102-1.6168053.5731882.280615-2.559444-2.651229-3.1031982.3213953.154987-1.6857032.9396973.031012-3.620252-4.599622-2.1858294.1962231.126677-2.1338633.0936864.668892-2.562705-2.793241-2.1497062.8841053.043438-2.9676472.8486964.479332-1.764772-4.905566-2.911070

test_kmeans.py

################################################## kmeans: k-means cluster# Author : zouxy# Date   : 2013-12-25# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09# Email  : [e-mail]#################################################from numpy import *import timeimport matplotlib.pyplot as pltfrom kmeans import *## step 1: load dataprint "step 1: load data..."dataSet = []fileIn = open('/home/hk/Documents/dd/testSet.txt')for line in fileIn.readlines():lineArr = line.strip().split('\t')dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])## step 2: clustering...print "step 2: clustering..."dataSet = mat(dataSet)k = 4centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k)## step 3: show the resultprint "step 3: show the result..."showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)

注:不能直接跑通

    要把代码 
test_kmeans.py  增加一行  : from kmeans import *

修改后代码下载（无需积分哟）：点击打开链接

运行的结果是：

四、算法分析

       k-means算法比较简单，但也有几个比较大的缺点：

（1）k值的选择是用户指定的，不同的k得到的结果会有挺大的不同，如下图所示，左边是k=3的结果，这个就太稀疏了，蓝色的那个簇其实是可以再划分成两个簇的。而右图是k=5的结果，可以看到红色菱形和蓝色菱形这两个簇应该是可以合并成一个簇的：

（2）对k个初始质心的选择比较敏感，容易陷入局部最小值。例如，我们上面的算法运行的时候，有可能会得到不同的结果，如下面这两种情况。K-means也是收敛了，只是收敛到了局部最小值：

（3）存在局限性，如下面这种非球状的数据分布就搞不定了：

（4）数据库比较大的时候，收敛会比较慢。

       k-means老早就出现在江湖了。所以以上的这些不足也被世人的目光敏锐的捕捉到，并融入世人的智慧进行了某种程度上的改良。例如问题（1）对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布，如重心和密度等，然后选择合适的k。而对问题（2），有人提出了另一个成为二分k均值（bisecting k-means）算法，它对初始的k个质心的选择就不太敏感，这个算法我们下一个博文再分析和实现。

 

五、参考文献

[1] K-means聚类算法

[2] 漫谈 Clustering (1): k-means

[3] http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/17589329