求最大公因子的简单（时间复杂度小）算法

1.辗转相除法

用（a,b）表示a和b的最大公约数

有定理： 已知a,b,c为正整数，若a除以b余c，则（a,b）=(b,c)。 （证明过程请

参考其它资料）

例如：求gcd（319，377）：∵ 377÷319=1（余58）∴gcd（377，319）=gcd（319，58）；∵ 319÷58=5（余29），∴ gcd（319，58）=gcd（58，29）；∵ 58÷29=2（余0），∴ gcd（58，29）= 29；∴ gcd（319，377）=29.

算法实现
#include <iostream>#include <math.h>using namespace std;int gcd1(int a,int b)//递归版本{    if (a<b)  //确定被除数和除数    {        int temp=a;        a=b;        b=temp;    }    if (b==0)  //求出结果    {        return a;    }    else    {        <strong>return gcd1(b,a%b);   //递归调用</strong>    }}int gcd2(int a,int b)//循环版本{    if (a<b)    {        int temp=a;        a=b;        b=temp;    }    while ( b!=0)    {        int c=a%b;        a=b;        b=c;    }    return a;}int main(){    int a,b;    cout<<"请输入两个正数："<<endl;    cin>>a>>b;    cout<<a<<"与"<<b<<"的最大公约数是:"<<gcd2(a,b)<<endl;//cout<<a<<"与"<<b<<"的最大公约数是:"<<gcd1(a,b)<<endl;

辗转相除法的时间复杂度为O(logN)。
存在的问题，当两个整形数较大时，做a%b的取模运算性能会比较低，所以，还有一个算法叫更相减损算法，更相减损术来自与《九章算术》

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法
例1、用更相减损术求98与63的最大公约数。
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
7-7=0
所以，98和63的最大公约数等于7。
例2、用更相减损术求260和104的最大公约数。
解：由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。
此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26辗转相减：
65-26=39
39-26=13
26-13=13
所以，260与104的最大公约数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即13*2*2=52。
时间复杂度分析：
更相减损术和辗转相除法的主要区别在于前者所使用的运算是“减”，后者是“除”。从算法思想上看，两者并没有本质上的区别，但是在计算过程中，如果遇到一个数很大，另一个数比较小的情况，可能要进行很多次减法才能达到一次除法的效果，从而使得算法的时间复杂度退化为O(N)，其中N是原先的两个数中较大的一个。相比之下，辗转相除法的时间复杂度稳定于O(logN)。
算法实现：
int gcd(int a, int b){<span style="white-space:pre"></span>while(a != b)<span style="white-space:pre"></span>{<span style="white-space:pre"></span>if(a > b)<span style="white-space:pre"></span>a -= b;<span style="white-space:pre"></span>else<span style="white-space:pre"></span>b -= a;<span style="white-space:pre"></span>}<span style="white-space:pre"></span>return a;}
所以说，采用什么算法求两个数的最大公约数要看这两个数的值