2048游戏最多能玩到多大的数字？最多能玩多少分？

2048大家都玩过，也有很多人考虑过，最高到底能玩到多大的数字。

也有的人会问，最高能玩到多大的分数，但是这个明显要复杂很多。

有个在线的2048做的还不错，手机电脑都可以玩，

而且只要打开，后面就再也不需要网络了，火车上面玩很方便

链接：http://2048game.com/

我的成绩：

这个游戏我还录了一个视频，8分钟完成2048

我的手机里面还安装了一个可以悔一步的版本的2048

可以悔一步的版本，比不能悔的版本要简单很多。

比如说，当只有一个空格的时候，很多时候，出现2就会game over，出现4就可以继续玩。

这样，利用悔一步的功能，可以不断尝试，直到出现4再继续玩。

当然，有的版本是game over之后就不能悔一步了

那就比这个版本稍微难一些，但是还是比不能悔的版本要简单一些。

我的成绩：

下面讨论2048问题的简化版

简化一：假设系统只会给出2，不会给出4

简化二：假设16个格子没有位置的限制，任何2个格子只要数相等就可以合并。

重定义操作：每次操作，可以同时合并若干对数，比如将2,2,4,4,8合并成4,8,8，

如果没有可以合并的数，就不合并，算一次不做任何改变的操作。

每次操作都会产生1个新的2

问题：这样的游戏最多可以玩出多大的数字？

首先列出2的幂，2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,16384,32768,65536,131072

131072=2^17

下面我将证明，永远不可能玩到131072

定义一个全局状态：所有格子的数的和S

很明显，刚开始的时候S是4，每合并1次，S的值就会加2

假设某个时候出现了131072，那么S至少为131072

那么一定有某个时候，S=131070，表示成二进制是1111 1111 1111 1111 0

这个数，要想表示成2的幂的和，至少需要16个数即从2到65536这16个数。

而这个时候，没有多余的空格了，所以说，不可能玩到131072。

而且，65536是可以达到的。

下面讨论真正的2048，到底能玩到多大的数字。

按照上面的论述可以推出，如果2048永远只出2的话，是不可能玩到131072的。

但是真正的2048，是有可能出现4的，所以说，2048永远不可能玩到262144，但是有没有可能玩到131072很难用理论说明。

为了研究131072到底能不能达到，我意识到只能悔一步的版本无法满足我的要求，于是我开始玩第三种版本——无限悔棋版

APK下载：点击打开链接

其实，可以悔一步的版本和可以悔任意多步的版本，在理论上是效果一样的。

当我们考虑2048最多可以玩到多大的数字的时候，是这么想的：

每次出现的是2还是4是随机的，出现的位置也是随机的。

我们只需要考虑在所有情况中，对我们最有利的那一种即可。

也就是说，可以这样考虑，每次出现的是2还是4是由我们来定，每次出现的位置也由我们来定，这样的情况下最多可以玩到多大的数字。

不难发现，无论是可以悔一步的版本的2048，还是可以悔任意多步的，都和这个模型的等价的。

这个图说明131072是可以玩到的，也让人很容易相信，131072便是能玩出的最大数字了，要证明也简单，就像我上面证明的那样。

下面讨论最多能玩多少分。

虽然我已经玩到了终点，已经无法再玩了，但是分数却不是最高的。

2048的计分规则是，玩家通过合并得到1个数N，这个数就计分N

比如说，2个2合并得到4，就加4分，2个1024合并得到2048，就加2048分

所以要计算最高分需要注意一个问题，同样是4，如果是玩家合并2个2得到的，那就是4分，但是如果是自动给出的4，那是没有分的，也就是说，单看这16个格子里面有哪些数是无法判断准确的得分的。

不过，最高分对应的局面只有2种情况，最小的格子可能是2也可能是4，另外15个格子就一定是8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,16384,32768,65536,131072无疑了。

为了计算最高分，可以再次假设每次给出的数都是2

在这样的前提下，我也不能肯定一定能玩到上图的局面，不过这一局就花了接近40个小时，我对细节太熟悉了，我觉得应该是没有问题的，这个不详谈了。

如果这样玩出上述的局面的话，那就一定能得到最高分。

具体计算方法是，2没分，4对应4分，8对应16分，16对应48分，32对应128分，64对应320分，128对应768分，256对应1792分，512对应4096分，1024对应9216分，2048对应20480分，4096对应45056分，8192对应98304分，16384对应212992分，32768对应458752分，65536对应983040分，131072对应2097152分

所以从8到131072这15个格子的总分是3887104分，这就是2048能够达到的最高分