120. Triangle

120. Triangle

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[     [2],    [3,4],   [6,5,7],  [4,1,8,3]]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note:
Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

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分析：三角形看起来类似树形结构，假设x和y是k的两个子节点，一旦从底到x或者y的pathsum确定了，那么只要在x和y中取最小值，再加上k就是当前的pathsum。它是具有最优子结构性质的。这里从上到下的动态规划和从下到上的动态规划是不同的，如果top-bottom，你至少需要和这个三角形同样大小的结构来存储每个点的pathsum，空间复杂度是O(n^2)。如果是采用从下往上，我们有minpath[i][k]=min(minpath[i+1][k],minpath[i+1][k+1])+triangle[i][k],当你完全获取了第i层的信息后，第i+1层的值就不会再用到，因为计算第i-1层时只需用到第i层。所以，可以用O(n)的空间来存储，而不是O(n^2)，即minpath[k]=min(minpath[k],minpath[k+1])+triangle[i][k].

第一种：top--to--bottom

空间：O(n^2)

第二种：bottom--to--up

空间：O（n）