几何变换详解

在三维图形学中，几何变换大致分为三种，平移变换（Translation），缩放变换（Scaling），旋转变换（Rotation）。以下讨论皆针对DirectX，所以使用左手坐标系。

平移变换

将三维空间中的一个点[x, y, z, 1]移动到另外一个点[x', y', z', 1]，三个坐标轴的移动分量分别为dx=Tx, dy=Ty, dz=Tz, 即

x' = x + Tx

y' = y + Ty

z' = z + Tz

平移变换的矩阵如下。

缩放变换

将模型放大或者缩小，本质也是对模型上每个顶点进行放大和缩小（顶点坐标值变大或变小），假设变换前的点是[x, y, z, 1]，变换后的点是[x', y', z', 1]，那么

x' = x * Sx

y' = y * Sy

z' = z * Sz

缩放变换的矩阵如下。

旋转变换

这是三种变换中最复杂的变换，这里只讨论最简单的情况，绕坐标轴旋转，关于绕任意轴旋转，在后续的随笔中介绍。

绕X轴旋转

绕X轴旋转时，顶点的x坐标不发生变化，y坐标和z坐标绕X轴旋转θ度，旋转的正方向为顺时针方向（沿着旋转轴负方向向原点看）。[x, y, z, 1]表示变换前的点，[x', y', z', 1]表示变换后的点。变换矩阵如下。

关于旋转的正方向，OpenGL与多数图形学书籍规定旋转正方向为逆时针方向（沿着坐标轴负方向向原点看），比如Computer Graphics C Version，p409。

绕Y轴旋转

绕Y轴旋转时，顶点的y坐标不发生变化，x坐标和z坐标绕Y轴旋转θ度。[x, y, z, 1]表示变换前的点，[x', y', z', 1]表示变换后的点。变换矩阵如下。

绕Z轴旋转

绕Z轴旋转时，顶点的z坐标不发生变化，x坐标和y坐标绕Z轴旋转θ度。[x, y, z, 1]表示变换前的点，[x', y', z', 1]表示变换后的点。变换矩阵如下。

绕坐标轴旋转的矩阵推导

上面三个旋转矩阵是如何得来的呢？我们推导一下，首先看一下二维的情况，再扩展到三维即可。实际上上面三种绕坐标轴旋转的情况属于特殊的二维旋转，比如绕Z轴旋转，相当于在与XOY平面上绕原点做二维旋转。

假设点P(x, y)是平面直角坐标系内一点，其到原点的距离为r，其与X轴的夹角为A，现将点P绕原点旋转θ度，得到点P'(x', y')，P'与X轴的夹角为B，则A = B - θ。（注意，在二维坐标中，逆时针旋转时角度为正，顺时针旋转时角度为负，下图中由P旋转到P'，角度为θ，若是由P'转到P，则角度为-θ）。

 

于是可得下面的转换方程

（式一）

写成矩阵的形式就是

求得旋转矩阵为

由于这里使用齐次坐标，所以还需加上一维，最终变成如下形式

绕Z轴旋转矩阵

和前面给出的绕Z轴旋转矩阵完全吻合。

对于绕X轴旋转的情况，我们只需将式一中的x用y替换，y用z替换，z用x替换即可。替换后得到

(式二)

对应的旋转矩阵为

绕X轴旋转矩阵

对于绕Y轴旋转的情况，只需对式二做一次同样的替换即可，的到的变换方程为

对应的变换矩阵为

绕Y轴旋转矩阵

逆矩阵

平移变换矩阵的逆矩阵与原来的平移量相同，但是方向相反。

旋转变换矩阵的逆矩阵与原来的旋转轴相同但是角度相反。

缩放变换的逆矩阵正好和原来的效果相反，如果原来是放大，则逆矩阵是缩小，如果原来是缩小，则逆矩阵是放大。

绕任意轴旋转

绕任意轴旋转的情况比较复杂，主要分为两种情况，一种是平行于坐标轴的，一种是不平行于坐标轴的，对于平行于坐标轴的，我们首先将旋转轴平移至与坐标轴重合，然后进行旋转，最后再平移回去。

· 将旋转轴平移至与坐标轴重合，对应平移操作

· 旋转，对应操作

· 步骤1的逆过程，对应操作

整个过程就是

对于不平行于坐标轴的，可按如下方法处理。（该方法实际上涵盖了上面的情况）

1 将旋转轴平移至原点

2 将旋转轴旋转至YOZ平面

3 将旋转轴旋转至于Z轴重合

4 绕Z轴旋转θ度

5 执行步骤3的逆过程

6 执行步骤2的逆过程

7 执行步骤1的逆过程

假设用v1(a1, b2, c2)和v2(a2, b2, c2)来表示旋转轴，θ表示旋转角度。为了方便推导，暂时使用右手系并使用列向量，待得出矩阵后转置一下即可，上面步骤对应的流程图如下。

步骤1是一个平移操作，将v1v2平移至原点，对应的矩阵为

步骤2是一个旋转操作，将p(p = v2 -v1)旋转至XOZ平面，步骤3也是一个旋转操作，将p旋转至与Z轴重合，这两个操作对应的图如下。

做点p在平面YOZ上的投影点q。再过q做Z轴垂线，则r是p绕X轴旋转所得，且旋转角度为α，且

，    

于是旋转矩阵为

现在将r绕Y轴旋转至与Z轴重合，旋转的角度为-beta（方向为顺时针），且

,     

于是得到旋转矩阵为

最后是绕Z轴旋转，对应的矩阵如下

如果旋转轴是过原点的，那么第一步和最后一步的平移操作可以省略，也就是把中间五个矩阵连乘起来，再转置一下，得到下面的绕任意轴旋转的矩阵

即

如果旋转轴是不过原点的，那么第一步和最后一步就不能省略，将所有七个矩阵连乘起来，得到如下变换矩阵

对应如下这个超长的矩阵，在这里(u, v, w) = (a2, b2, c2) - (a1, b1, c1)，且是单位向量，a, b, c分别表示(a1, b1, c1)

将上面的过程写成函数，该函数接受四个参数，第一个参数是一个输出参数，用来保存得到的旋转矩阵，第二个和第三个参数是旋转轴的两个端点，最后一个参数是旋转角度θ，注意，在函数中我们已经将上面的矩阵转置了，因为上面是按照列向量计算的。