判断100到200之间的素数的方法的不断优化

方法一：

      判断一个数是否是素数，比如101，我们首先能想到的最直观的方法就是让101除以2到100之间所有数，如果都不能整除，那么说明101就是素数；如果被2到100之间的任意一个数整除了，就说明它不是一个素数。现在我们来看如何判断100到200之间的素数，有了判断一个数是否是素数的基础。我们现在只需要把100到200之间的所有数以刚才的方法遍历一遍就可以找出100到200之间的所有素数了。通过刚才的分析，我们可以写出下面的这段代码：

<pre name="code" class="cpp">#include<stdio.h>#include<math.h>int main(){int i=100;for(i=100;i<=200;i++){int j=2;for(j=2;j<i;j++){if(i%j==0)break;}if(j>=i)printf("%d ",i);}printf("\n");return 0;}

    我们看一下最终的结果

    可以看到结果是正确的，那么是不是就到此结束了呢？程序还可不可以继续改进呢？我们仔细分析一下刚才的代码，我们举个例子比如200，它需要把2到199之间的数全部除个遍，而且100到200之间100个数都要把2到本身减一的所有数除个遍。我们可以想一下，100到200之间只有100个数，用这种方法计算机可以很快的计算出来。如果我们要判断10000个甚至更多个数呢，这个时候这种方法的时间复杂度就有些长了。那么我们就想办法缩短时间复杂度。

方法二：

     如果一个数x不是素数，那么x肯定可以写成x=a*b的形式，那么a的值最小是2，而此时b的值是x/2（此时b也是最大值），当a最大为x/2时，b最小为2。也就是说a和b的范围都分别为2到x/2。

     所以，我们用x除以2到x/2之间的数就可以了，一旦有被整除的，就说明这个数x就不是素数；如果没有整除的，就说明数x是一个素数。这样比如100，我们就可以只让100除以2到50之间的数就可以啦，不用把2到99之间的数都除一遍了。明显的缩短了时间复杂度。我们将方法一的代码稍加修改就可以了。代码如下：

#include<stdio.h>#include<math.h>int main(){int i=100;for(i=100;i<=200;i++){int j=2;for(j=2;j<i/2;j++){if(i%j==0)break;}if(j>=i/2)printf("%d ",i);}printf("\n");return 0;}

    结果是相同的

方法三：

    刚才的方法确实缩短了时间复杂度，还能不能继续缩短使效率更高呢？刚才我们说如果一个数不是素数x，可以表示成x=a*b，那么a和b中肯定一大一小或者相等，x如果能被a和b中较小的数a（假设a小于b）整除，那么x肯定也能被较大的数b整除，因为x=a*b，所以我们只需要将x除以较小的数就可以啦。那么较小的数a的变化范围是多少呢？x=a*b，较小的数a最多就是和b相等，也就是x开二次方。举个例子100，用第二种方法，100需要除以2到50之间的数，那么现在100只需要除以2到10之间的数就可以啦。明显的时间复杂度又减少了。此外，一个数如果是偶数肯定不是素数（当然除了2），所以只需判断100到200之间的奇数即可。你看，时间复杂度又缩短了。主函数代码如下：

<span style="font-size:10px;">int main(){int i=100;for(i=101;i<=200;i+=2){int j=2;for(j=2;j<sqrt(i);j++){if(i%j==0)break;}if(j>=sqrt(i))printf("%d ",i);}printf("\n");return 0;}</span>

   我们看一下结果也是一样的

     通过这个题，我也学到了很多，当我们完成一个程序时，完成所给的功能是首要目的，在此基础上，要不断对其进行优化，在这个过程中，自己也会学到很多，成长很多。