傅氏变换（无公式,无英语。我恨无缘无故的公式，更恨枯燥乏味的英语！谢谢。。。）

傅氏變換是人類對自然界認知的一種方法，是認識事物背後本質的有趣方式，是眾多數學分析工具中的一顆璀璨的明星，是所有理工科學生都必不可少的一門課。

 

大家要了解的不僅僅是課本上的複雜公式，更是應該跳出課本，學習傅氏變換的思想，并通過實際項目中的應用去了解她。

 

辣椒炒肉

辣椒炒肉是一道味道可口婦孺皆知的經典菜餚。那麼怎麼把複雜的傅里葉變換和辣椒炒肉緊密的聯係在一起呢。

 

辣椒炒肉炒好了以後，要想知道，這道菜放了多少辣椒，多少肉，多少鹽等，就可以通過對這道菜進行傅里葉變換。通過傅里葉變換的定義我們知道，任何信號都可以表示成不同成分的正弦信號的疊加。辣椒炒肉就是把不同成分的辣椒，肉，鹽按照一定比例疊加在一起的產物。通過對一盤炒好的辣椒炒肉進行傅里葉變換，我們可以精確（非常精確）的得知，辣椒有多少克，肉有多少克，鹽有多少克。這樣我們就能按照完全相同的比例從新炒一盤一模一樣的辣椒炒肉（類似於傅里葉反變換）。如果說一盤正常的辣椒炒肉要，按照1:1:1的比例做。那麼通過對一盤炒鹹了的辣椒炒肉進行傅里葉變換，我們就能夠精確的知道，鹽多放了多少，下次可以避免。

 

為什麼說傅氏變換是一種正交變換，不同成分（頻率）的正弦信號是他的一組正交基？

 

正交

 

所謂正交，從幾何的角度說就是相互垂直，也就是說兩者完全相互獨立，A不能用B表示，B也不能用A表示。就好像是辣椒炒肉裡面的材料，辣椒，肉和鹽是一組正交基，因為他們誰也不能代替誰。假設我們改用，辣椒，醃肉和鹽來做辣椒炒肉。那麼，辣椒，醃肉和鹽充其量只能算是一組基，但不正交，因為醃肉裡面有鹽了。這也正好證明了用一組正交基來表示的好處，因為如果不用醃肉，我按照1:1:1就能完美的重現一盤辣椒炒肉，可以用醃肉來做，我們還要知道醃肉裡面究竟有多少鹽。

 

基

 

基就是基本元素的意思，數學上叫基向量。要想完全精確的對一個事物進行分析。基必須完全，該有的一個都不能少，不該有的一個都不能多。用辣椒炒肉來說（辣椒，肉，鹽）就是一組基且是正交基。但是這組基做出來的辣椒炒肉可能就不如以（辣椒，肉，鹽，味精，蔥，薑，蒜）為基做出來的好吃。

要是你用前面那個只有三個元素的基去對一個味道非常好用了其他材料做出來的辣椒炒肉做傅里葉分析（即，傅里葉變換），就無法分辨出其他的調料，食材，以及他們所佔的比重。

 

看圖說“基”

 

傅里葉分析的基（基本元素）是用（一定幅度/同一幅度）從0頻率到無限大頻率的無數多個正弦函數和餘弦函數共同組成的。

上圖展示的是一組從0頻開始頻率不斷增大的正弦函數圖像。（注意100HZ處圖像出現了奇妙的混疊，也就是說信號的高頻部分混入了信號的低頻部分，信號被破壞了。）

上圖展示的是一組從0頻開始頻率不斷增大的餘弦函數圖像。（同樣，100HZ處圖像出現了混疊。）

‘大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私語，嘈嘈切切錯雜彈，大珠小珠落玉盤’ 

上圖中的一個個信號像不像是一個根根琵琶女手中波動的琴弦？不同粗細的琴弦所發出的從沉悶到尖銳清脆的聲音不就是不同頻率的正弦信號嗎！

 

我們的傅里葉分析正是利用了這些無窮無盡的，不同頻率的，各個成分所佔比重不同的，取之不盡用之不竭的，眼花繚亂的，正弦信號和餘弦信號組成的基（基礎元素）來張成（構建，編碼，分析，編織，合成）自然界中各種各樣錯綜複雜的信號的。

 

買條路（音譯），這裡我大概在提一下什麼是我們常見的的混疊現象。

 

舉例，大家注意去看那個老式的電風扇，或者是汽車的輪子.你調1檔的時候你是可以分辨出風扇的旋轉速度，旋轉方向的。到了二檔，就有些費力了。到了三擋，你就會發現風扇還是有風，可是好像停住不轉了。到了四檔你又看見，風扇開始倒轉了，而且倒轉的速度很慢。

這也就是說高頻信息和低頻信息混合在一起了，撲所迷離，晦暗莫測，百轉千回，讓人難以捉摸（說明高轉速風扇的奈奎斯特頻率高於人眼所能企及的採樣頻率。）！

“天之蒼蒼，其正色耶？其遠而無法至極耶？”

   通過上面的講解我們發現傅里葉變換的基已經算很少了，或者說傅里葉變換所用的基函數不夠細，不夠具體，不夠詳細。比如說，傅里葉變換的一個缺陷就是他對一個信號的時序位置和空間位置的表示很差。為了彌補傅里葉變換的不足，假設我們設置一個哆啦A夢變換去再次分析辣椒炒肉的成分，這個哆啦A夢的基不僅能反應，你用了辣椒，還能反應，你用的設麼顏色的辣椒，多辣的辣椒，不僅能夠反應你用了多少肉，還能反應你用的是圈養豬肉還是土豬肉，不僅能夠反應用了多少克鹽還能反應，你用的加碘鹽還是無碘鹽。由此可見，哆啦A夢變換要比傅里葉變換分析的更細，成分更多，當然計算量可能也更大。當然還有人會從完全不同的視角去看辣椒炒肉，去分析它。但只要你是把他看成是不同屬性（成分）的疊加，就已經體現了傅里葉變換的思想。比如說，有一種多啦美變換，她對一盤辣椒炒肉分析后得到了他有多少卡路里，多少蛋白質，多少鈣，多少納，多少維他命等。就好比是，一個二維上的點，你可以用笛卡爾坐標系來表示，也可以用極坐標來表示。或者是，重積分里的球面坐標和柱面坐標。

 

   信號的傅里葉分析或者其他分析就是把一個複雜的問題的簡化，分解的方式多重多樣參差不齊。其目的是把一個複雜的事物，一個困難的問題，一個費解的現象用不同的方式去再展示，再表達，再深挖，再剖析，以至於我們能夠更好地去控制其中的各個成分，增強有用的，去掉或者抑制沒用的，去了解事物的一些不同的屬性。所以，說白了就是要有“目的”去構建分析和剖析現象的方法方式，變換的方式有很多，但是某些信號或者問題用傅里葉的方式來分析恰到好處（弱水三千只取一瓢，殺雞焉用宰牛刀說的就是這個道理。）。

 

有很強的目的性/針對性的意義

 

屠呦呦的青蒿素（屠呦呦變換）和西方的牛痘

     

   中華傳統中醫藥學是大自然的寶庫，是上帝的餽贈，是勞動人民智慧的結晶。在西方有這麼一則故事。18世紀，天花是一種殺傷性很強的疾病。愛得華·詹納（1749-1823）在倫敦訓練以及在軍隊當了一段外科醫生後，成為一個農村醫生。他從口頭的傳說中知道，擠牛奶的少女不會得天花。他相信，擠牛奶的少女只會得很輕的天花和她得無生命危險的牛痘之間會有一定的聯繫。但他不知道水泡中的膿水保護擠牛奶少女的作用。詹納相信，用牛痘的液體注入人體內，牛痘的細菌使人能抵抗以後注射的天花細菌所帶來的危險。詹納決定試試他所想出的主意。1796年3月，一位名叫莎拉·內爾姆斯的年輕擠牛奶姑娘去看詹納。此時詹納看見莎拉·內爾斯姆正長牛痘，詹納從她的牛痘腫塊中抽出一些液體，後放入詹姆斯手臂上的切割口。詹姆斯是一位農民的兒子，他同意注射內爾姆斯牛痘的液體。注入牛痘後，詹姆斯得病並不利害。六周後，詹姆斯康復。詹納又給詹姆斯注射病毒，但經過注射牛痘液的詹姆斯不再得天花。詹納的實驗成功了。經過許多進一步成功的試驗以後。詹納在1798年發表他的發現“一個原因的調查和天花疫苗的效果”。詹納稱他的“接種疫苗”想法來自拉丁文牛痘。最後，歐洲的醫生都承認，用接種牛痘的方法防止天花的效果很好。接種牛痘遍及歐洲和北美。1980年由於詹納發現的結果，世衛組織稱，全世界的人民已從天花病解放出來。

      

   诺贝尔主题演讲会的主持人，卡罗林斯卡学院传染病学教授 Jan Andersson先生在屠呦呦研究员演讲全程中一直跪在地上，一只手从后面扶着屠教授，另一只手为屠呦呦研究员拿着话筒，30分钟一动未动。

    無獨有偶，早在中國古代很早就有醫家發現草藥青蒿對於瘧疾的治療有極大的幫助。但是僅僅只是知道這種草藥能夠治療這種疾病還遠不夠，其一是青蒿素在青蒿中的含量很低不利於用藥，其二不利於定性定量的去分析其中究竟哪個成分的東西在對疾病的治療起到了至關重要的作用，不能大量生產和人工合成。按照東晉葛洪所著的肘後備急方中所提到了一種分析和提取的方式，屠呦呦利用低沸點的提取方法成功的提取了青蒿中的有效成分青蒿素。她這裡所用的提取方法就是一種分析方式，即一種變換，暫且就叫他“屠呦呦變換”吧。其目的性很明確，就是要把青蒿中的各個成分分別分離出來，然後只對有效地分量，成分，係數，基向量，加以抽取，過濾，濾波。這不就是西方對抗天花時所提取的牛痘中的膿水嗎。所以從這個角度講，傅氏變換中的基就是一種濾紙，一種過濾裝置，一組濾波器，變換的過程就是過濾，變換後的結果就是每個濾紙過濾出來的東西。注意，傅氏變換所用的濾紙過濾后是沒有殘渣的，每個成分都會有選擇性的通過不同的濾紙來過濾。而屠呦呦的提過過程則會產生殘渣，因為它是有選擇的。

為了更進一步的加深大家對傅里葉分析/分解的印象，下面的這個當年大家做爛的化学題和那道臭名昭著的臭雞蛋气味的題目我想你應該還記憶深刻吧。

傅氏分析的週期性以及三個重要元素，幅度，頻率，相位。

 

傅里葉變換的基礎就是用用不同頻率的正弦信號來表示（解釋）任何信號，所以我想從正弦信號來解釋是一個不錯的選擇。三角函數這一週期性的函數和圓是必不可分的，有些教材中會利用單位圓的概念來定義三角函數。

 

 

如果把三角函數放在二維笛卡爾坐標系中，假設三角函數是海裡有規則的潮汐，他的幅度反映的就是那個無限長大波浪的一個個浪尖的高度。如果把他想象成樓梯，那麼針對同一個樓，他的樓梯折返次數越多說明他的頻率越高，反之則頻率很低。如果想象成一場3000米的賽跑，大家會發現每個運動員都會在不同的起點起跑，這就是相位不同。

 

 

現在我們再用圓來解釋一遍。

假設現在有個點在做圓周運動。

這個點的旋轉速度就是他的頻率，例如3圈每秒。

這個點距離遠點的距離就是他的幅度，例如1CM。

這個點旋轉的起始位置就是他的相位，例如從（1,0）開始。

 

相信大家都能很容易的把三角函數和圓聯繫起來。下面這個圖形能夠很好地說明，怎麼用不同頻率的正弦信號去畫圓，去合成不同的信號。

 

幅度為1，速度（頻率）為x，相位在藍色半徑的位置的正弦信號。

多加了以幅度為0.5，且相位和頻率都不同的信號。

 

一種大家很熟悉的信號。

任意組合的一種信號。

 

請牢記，傅里葉變換的基礎是用不同頻率的三角函數去分析數據，他是週期的，是用週期的磚頭去搭建週期的房子。

 

為了說明傅里葉變換的基石，即正弦函數。我之所以這麼看重正弦函數的性質，是因為它的性質和傅里葉變換的性質息息相關，就好像利用三角形來定義三角函數和利用單位圓來定義三角函數一樣，是你中有我，我中有你的。換句話說，要想“充分”了解任何數學變換，必須要了解它的基本構建元素，它的子空間，它的基。恰似，化學之離子，物理之原子，生物之細胞。用橫豎撇捺為基構成（張成）的信息（空間）是漢字，用26個字母為基構成的信號（空間）是洋文。

 

傅里葉變換只是眾多變換中的一種，他的思想很重要。理解了他的想法，你自己也可以去創建自己的分析方式。任何變換都有他的局限性，而且他的局限性就是他的針對性。要學會利用每個變換的屬性才能更好地駕馭它，使用它，要知道在什麼情況下才能使用它。

 

 

再說信號的分解/分析——“重劍無鋒，大巧不工”

 

信號的分解方式總的來說就是並不是只有傅裡葉最有用，也不是說傅裡葉變換是一蹴而就的，雖然他們的目的都是試圖去嘗試一系列的方法去完美的分解並重建/還原信號。其中被人所熟知的就是衝擊分解法和傅裡葉分解法。衝擊分解法對信號的採樣，連續時間信號的離散化，線性時不變系統的構建提供了很大的幫助。如下圖左圖所示，一個N單位長度的信號被分解成位置不同，大小不同的N個點類，似于一個個向量，有大小有方向。

舉例，這種分解方式就好像是之前大家玩過拼圖遊戲一樣，（買條路，你要是沒玩過這種拼圖遊戲就說明你老了）。先對圖像進行衝擊分解（此處的衝擊就是一個個等大小的小方塊，而上圖中的卻是一個個等間隔的小黑點。因為信號不同所以衝擊信號也不同。），打亂順序，然後再重建（完美重建）。所以說在打亂之前的位置就是上圖中原始信號中那一個個小黑點的位置，而原始信號中黑點的大小/高度，就是拼圖遊戲中的不同方塊上的圖像紋理。現在知道這種分解方法多麼有用了吧。會不會有種錯覺，感覺的他比傅里葉變換還有用？發揮你的想象力吧！其實很多東西都是越簡單越好，因為它足夠單純（請讀者類比正交性）。所謂大道至簡說的就是這個道理。上圖右邊說的是另外一種分解方式，是用一個個類似台階一樣的信號去分解信號叫階躍分解法。這種方法已經有點傅里葉分析的那個意思了。

 

再來就是信號的奇偶對稱分解法交叉分解法

先說奇偶對稱如上圖左邊所示，就是把一個N個單位長度的信號分解成分解成一份N長度的“奇對稱”信號和N長度的“偶對稱”信號。奇偶變換也就是我常說的中心線對稱和原點對稱。这种分解方式進一步揭示了傅里葉變換的一個重要特性叫循環對稱。也就是說我們假設任意一個信號都是頭尾相連的。比如說一個N個單位長度的信號，N+1處是無定義的，但是我們假設他是x(0). 就好像一個貪吃蛇咬住了自己的尾巴。在傅里葉變換中，也是會假設任何信號都是無限循環的或者說是週期的。換句話說，也就是只有在這個假設存在的前提下，才能對信號進行傅里葉變換。

這是一個我用Matlab仿真的離散隨機信號和他奇偶分解。下面的是連續信號的。

 

交叉分解法

上圖（figure5）右邊展示的是交叉分解法，他的分解方法很容易和奇偶分解法混淆在一起。因為，他的分解方法是把一個N長度的信號分解成一個按基數位採樣同時把偶數位置0生成的N位‘奇數採樣信號’，同理再生成另外一份‘偶數採樣信號’。就是這麼簡單！

 

同樣，我也用Matlab仿真了一個任意信號的交叉分解法。

交叉分解法很少被提到，也很少被用到。但是他卻是快速傅里葉變換FFT的基石。傅里葉變換已經的計算速度一直以來都是個老大難，一些比較大的數據即便是今天的計算機來直接計算其傅里葉變換也要幾分鐘或者幾個小時直到FFT的出現才極大的提高了傅里葉變換的計算速度。FFT的核心思想：把一個信號利用交叉分解不斷地分解，把前一次的計算結果作為下一次的分解的輸入重複下去。分別對最後分解出來的分量進行傅里葉變換，然後再把變換后的結果重新合成最終結果。這種方法把傅里葉變換的計算速度提高了100-1000倍。

 

望穿秋水----傅里葉分解

大家通過之前各種例子的說明，還有傅里葉變換三要素的講解估計又被搞糊塗了。為了以正視聽，還是請大家看看上圖對傅里葉分解的解讀。N點的信號被分解成N+2點的信號，每個信號有N個點，其中一半是由不同頻率的餘弦信號組成的/表示的，另一半則是由正弦信號組成的。每一個正弦或者餘弦信號的大小反映了這一單一成分在原始信號中所佔的比重。

全文完。謝謝收看！

鳴謝：

Steven W. Smith-The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing-California technical Publishing (1999)；

MathWorks.

http://tech.qq.com/a/20151213/017786.htm

http://help.3g.163.com/15/1017/17/B656BKHB00964L9E.html

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