KMP算法详解

KMP算法

KMP算法算得上是数据结构中比较难的算法之一了，大二那年我记得我好像看懂了，可是最近考研复习到这里的时候，我发现我看不懂了（所以之前还是一知半解啊）。在网上找了好多资料，综合了几个人的讲解终于看懂了。所以想着记录一下。说不定以后可以为他人提供一定得帮助。

首先说明，此篇是“面向原理”的算法说明，抛开代码，从原理的层面上来理解整个算法。

首先概括一下KMP算法的主要内容：
KMP算法是一种字符串匹配算法，KMP算法的关键是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是实现一个next数组，数组的意思是指向模式串的下一个开始位置。时间复杂度O(m+n)。

KMP算法的主要计算过程，代码如下：

int KMP(char S[], char T[], int next[], int pos){  //利用模式串T的next函数求T在主串S中第pos个字符之后的位置的KMP算法。     int i = pos;     int j = 1;     while(i<=S[0] && j<=T[j]){       if(j==0 || S[i]==T[j]){           ++i;           ++j;         }//if       else       j = next[j];     }//while      if(j > T[0])       return i- T[0];     else       return 0; }

上面的代码很好理解，如果S[i] == T[j]，表示当前位置的主串和模式串中的字符相同，i j各自加一；如果不同，j = next[j]，表示S[i]!=T[j]的时候j指针下一步移动的位置。这里j的不是从T数组的初位置开始，而是一个恰当的位置。

KMP算法的难点在于next数组的建立，代码如下：

void get_next(char T[], int next[]){    int i = 1;    next[1]=0;    int j = 0;    while(I <= T[0]){         //这里的T[0]存储T的个数     if(j==0 || T[i]==T[j]{          ++i; ++j; next[i] = j;      }//if     else        j = next[j];   }//while}

整个KMP算法的核心就是这个next数组的建立，也就是确定当一个字符与主串不匹配的时候，我们要知道j这个指针要移动到哪里去？

我们首先来发现一下规律。

当i j运行到如上位置的时候，S[i] != T[j]，这时候我们会想到的解决办法就是

很明显，因为i的位置的前面有s，我们就把j的位置移动到2上。那么，规律来了：
当匹配失败的时候，j要移动的下一个位置k，k应该满足这样的条件：
k前面的k-1个所有字符要和j前面的k-1个字符完全一致。
数学公式如下：
T[1 … k-1] = T[j-k+1 … j-1]
例子中

我们后来选取的k的位置的前面所有的字符和j前面k-1个完全一样（这里k=2），都是s。

我们来推导一下数学公式，来证明一下为什么直接将j移动到k的位置，而不是第一个位置。
当S[i] != T[j]时
S[i-j+1 … i-1] = T[1 … j-1]
T[1 … k-1] = T[j-k+1 … j-1]
=> S[i-j+1 … i-1] = T[1 … k-1]
所以直接保证了k的前k-1个字符串和S中i之前的k-1个字符完全一样。

所以我们的的目的就是找到匹配不成功的时候最合适的k的位置，这个k的位置要保证前k-1个字符和主串中i之前的k-1个字符相同且尽可能最长。

当出现这种情况的时候，我们的k应该是1还是4，很明显是4，我们希望的是这样：

而不是这样：

因为我们就是为了让k尽量的离初始位置远一些，也就是前k-1个位置的所有的字符串和主串中i之前的k-1个字符串的完全一致。

我们接着来归纳：

首先来看第一个，当j在第一个位置就和主串不匹配的时候：

S[i] != T[j]，因为j = 1，j已经在最左边了，所以，j的下一个位置只能是0，即next[[1]] = 0；

而当j = 2，主串和模式串不匹配时：

此时j也就只有一个位置可以移动，那就是第一位，即next[[2]] = 1；

说这么多，可能有些同学还是没有理解，所以我们来用一个例子来说明一下。

eg：求“ababaaababaa”的next数组（from 王道论坛-2017数据结构 P269 第六题）

首先根据之前对j = 1，j = 2位置的讨论，next[1] = 0, next[2] = 1;这里应该没有疑问，那么接下来我们讨论第三个。
第三个位置T[3] = a，这时候前三个字符串为aba，所以第三个匹配不成功的时候，主串中S[i-2] = a, S[i-1] = b,在模式串中找不到这样的k，使得前k-1个位置的字符分别是ab或者是b，所以j= 3的下一个位置k只能为1，即next[3] = 1，大家不要忘记了，next[j]的值就是下一个要匹配的k的位置，这一点很重要，做题过程中要始终记得

当j = 4的时候，这时候和主串中已经匹配了的字符串一定是aba，所以当第四个位置不匹配的时候，我们下一个要找的k的位置就一定满足，前k-1个字符串为aba或者ba或者a（我们要找能满足条件的最长的子串，即k值尽可能的大），我们观察T数组中的前三个，只有当k为2的时候，前k-1个字串为a，即为满足条件的最长，我们来结合图片看一下

这里的主串只是为了更容易理解，所以怎么简单怎么来，前后可能不一致

即k位置的前k-1个和i前k-1个的字符完全一样，next[4] = 2;

接下来第五个位置，当T[5] != S[i]的时候，说明主串和模式串中当前位置的前四个都是已经匹配了的，即为abab，所以我们接下来找的位置k要满足前k-1个为abab、bab、ab、b中的满足条件的最长的。所以我们发现k = 3的时候，前两个为ab即为满足条件的最长的

所以此时next[5] = 3,即j = 5不匹配的时候，j的下一个位置为3

同理，第6个位置不匹配的时候，说明前面已经匹配了5个了，即ababa，所以接下来找的k满足前k-1个为ababa、baba、aba、ba、a中最长的，观察得：k = 4的时候，前k-1个为aba为满足条件的最长的串

此时的next[6] = 4,第6个位置不成功时的下一个查找位置为4

j = 7时，前面已经匹配了6个，即ababaa，所以满足条件的有ababaa、babaa、abaa、baa、aa、a中最长的，观察，k = 2时，前k-1个为a为最长的

此时next[7] = 2,第7个位置不成功时的下一个开始位置为2

j = 8时，前面已经匹配了7个，即ababaaa，所以满足条件的有ababaaa、babaaa、abaaa、baaa、aaa、aa、a中最长的，观察，k = 2时，前k-1个为a为最长的

此时next[8] = 2,第8个位置不成功时的下一个开始位置为2

j = 9时，前面已经匹配了8个，即ababaaab，所以满足条件的有ababaaab、babaaab、abaaab、baaab、aaab、aab、ab、b中最长的，观察，k = 3时，前k-1个为ab为最长的

此时next[9] = 3,第9个位置不成功时的下一个开始位置为3

j = 10时，前面已经匹配了9个，即ababaaaba，所以满足条件的有ababaaaba、babaaaba、abaaaba、baaaba、aaaba、aaba、aba、ba、a中最长的，观察，k = 4时，前k-1个为aba为最长的

此时next[10] = 4,第10个位置不成功时的下一个开始位置为4

j = 11时，前面已经匹配了10个，即ababaaabab，所以满足条件的有ababaaabab、babaaabab、abaaabab、baaabab、aaabab、aabab、abab、bab、ab、b中最长的，观察，k = 5时，前k-1个为abab为最长的

此时next[11] = 5,第11个位置不成功时的下一个开始位置为5

j = 12时，前面已经匹配了11个，即ababaaababa，所以满足条件的有ababaaababa、babaaababa、abaaababa、baaababa、aaababa、aababa、ababa、baba、aba、ba、a中最长的，观察，k = 6时，前k-1个为ababa为最长的

此时next[12] = 6,第12个位置不成功时的下一个开始位置为6

至此，整个过程就结束了，next数组就这样求出来了。是不是很简单！！！我这篇博客写的挺多，后面将一整个例子完完全全的一步一步的推导出来，所以篇幅比较长，不过，只要你耐下心来看，应该可以看懂的。

这是我第一次写博客，所以经验不足，表达能力欠佳，我已经用我认为最简单的想法来解释算法了，但是如果有不足的地方，请各位看官指正，互相学习。