LeetCode（96） Unique Binary Search Trees

题目：

给定n个结点1...n，能够成多少种不同的二分查找树

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1    \       /     /      / \      \     3     2     1      1   3      2    /     /       \                 \   2     1         2                 3

解法：

动态规划。

用f[i]表示i个不同的点能构成多少棵二分查找树。

因为选定一个根后，二分查找树的左子树结点都小于根，右子树结点都大于根。因此，假如我们取定一个点为根节点，那么它的左右子树分别由哪些点组成是固定的。例如n=4。当选择1为根，它的左右子树结点分别是（）（2,3,4）；选择2为根，左右子树结点分别是（1）（3,4）；选择3为根，左右子树结点分别是（1,2）（4）；选择4为根，左右子树结点分别是（1,2,3）（）。

这样就有递推关系：f[4]=f[0]*f[3]+f[1]*f[2]+f[2]*f[1]+f[3]*f[0]

即：f[i]=f[0]*f[i-1]+f[1]*f[i-2]+...+f[i-1]*f[0]

边界条件：f[0]=f[1]=1
代码：

class Solution {public:    int numTrees(int n) {        vector<int> f(n+1);        if(n==0) return 0;        f[0]=1;f[1]=1;        for(int i=2;i<=n;i++)        {            f[i]=0;            for(int j=0;j<i;j++)            {                f[i]+=f[j]*f[i-j-1];            }        }        return f[n];    }};